Całka Riemanna

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Całka Riemanna to jedno z podstawowych pojęć w analizie matematycznej. Była ona wprowadzona przez niemieckiego matematyka Bernharda Riemanna jako pierwsza ścisła definicja całki.

Spis treści

1 Intuicja
2 Sedno definicji
3 Definicja
4 Własności
5 Zobacz też

[edytuj] Intuicja

Obszaru „pod wykresem” funkcji

f

Całka funkcji f na przedziale domkniętym $[a, b]$ jest to pewna liczba, która w przypadku funkcji dodatnich mierzy powierzchnię między wykresem funkcji a osią OX. Przypuśćmy, że $f:{\mathbb R}\longrightarrow [0,\infty)$ oraz $a < b$ . Pytamy się jakie jest pole powierzchni figury $S=\{(x,y):a\leq x\leq b\ \wedge \ 0\leq y\leq f(x)\}$ . Aby obliczyć to pole, będziemy przybliżać figurę $S$ za pomocą skończonej, choć dowolnie dużej, liczby prostokątów. Jeśli ten proces się uda, to otrzymaną wartość nazywamy całką Riemanna z funkcji $f$ na odcinku $[a, b]$ i oznaczamy przez

$\int\limits_{a}^{b} f(x)\, dx$

[edytuj] Sedno definicji

Ciąg sum Riemanna. Liczby w prawym górnym rogu są polami obszaru szarych prostokątów - zbiegają one do całki funkcji.

Całkę funkcji f można opisać jako liczbę otrzymaną w wyniku następującego procesu:

Bierzemy pod uwagę dowolny podział przedziału $[a, b]$ punktami $t_0, t_1, \ldots, t_N$ na przedziały $[t i, t i + 1]$ ; następnie w każdym z takich przedziałów obieramy dowolnie punkt $ξ i$ .
Obliczamy wszystkie iloczyny $f (ξ i)(t i + 1 - t i)$
Sumujemy tak obliczone wielkości
Przechodzimy do granicy ze względu na $N$ dążące do nieskończoności oraz ze względu na maksymalną długość przedziału $[t i, t i + 1]$ dążącą do zera; jeśli granica ta istnieje, to ona właśnie jest szukaną całką funkcji $f$ w sensie Riemanna.

Łatwo zauważyć, że w przypadku funkcji o wartościach dodatnich, geometrycznie powyższa procedura oznacza przybliżanie pola powierzchni pod krzywą sumą pól pewnych prostokątów; jeśli przybliżenia te są zbieżne, to właśnie granicę owej sumy nazywamy całką Riemanna. Przedstawiony tu opis, a ściślej mówiąc przejście graniczne opisane w punkcie 4tym, wymaga pewnej formalizacji.

[edytuj] Definicja

Podziałem z punktami pośrednimi odcinka $[a, b]$ nazwiemy każdy ciąg skończony $\langle t_0,\ldots,t_N,\xi_0,\ldots,\xi_{N-1}\rangle$ punktów z $[a, b]$ takich że $a=t_0<t_1<\ldots<t_N=b$ i $t_i\leq\xi_i\leq t_{i+1}$ dla $i < N$ .
Powiemy że podział z punktami pośrednimi $\langle t_0,\ldots,t_N,\xi_0,\ldots,\xi_{N-1}\rangle$ rozdrabnia podział $\langle s_0,\ldots,s_M,\zeta_0,\ldots,\zeta_{M-1}\rangle$ jeśli dla każdego $i\leq M$ można wybrać $j(i)\leq N$ tak że $s i = t j (i)$ oraz $\zeta_i\in\{\xi_{j(i)},\ldots,\xi_{j(i+1)-1}\}$ .
Niech $f:[a,b]\longrightarrow {\mathbb R}$ . Powiemy ze liczba $R$ jest całką Riemanna z funkcji $f$ wtedy i tylko wtedy gdy

dla każdego $\varepsilon>0$ istnieje podział z punktami pośrednimi $\langle s_0,\ldots,s_M,\zeta_0,\ldots,\zeta_{M-1}\rangle$ odcinka

[a, b]

taki że dla każdego podziału $\langle t_0,\ldots,t_N,\xi_0,\ldots,\xi_{N-1}\rangle$ rozdrabniającego $\langle s_0,\ldots,s_M,\zeta_0,\ldots,\zeta_{M-1}\rangle$ mamy

$\big|R-\sum\limits_{i=0}^{N-1} f(\xi_i)\cdot (t_{i+1}-t_i)\big|<\varepsilon$ .

Jeśli istnieje taka liczba

R

to powiemy że funkcja

f

jest całkowalna w sensie Riemanna.

Należy zwrócić uwagę że przedstawiona powyżej definicja jest jedną z wielu spotykanych w literaturze formalizacji tego pojęcia. Różnice pomiędzy używanymi definicjami są zwykle wyłącznie natury technicznej.

[edytuj] Własności

Każda funkcja ciągła na $[a, b]$ jest całkowalna w sensie Riemanna.
Jeśli $f,g:[a,b]\longrightarrow {\mathbb R}$ są całkowalne w sensie Riemanna, $\alpha,\beta\in {\mathbb R}$ to funkcja $\alpha\cdot f+\beta\cdot g$ też jest całkowalna i

$\int\limits_a^b \alpha\cdot f(x)+\beta\cdot g(x)\;dx=\alpha\int\limits_a^bf(x)\;dx+\beta\int\limits_a^bg(x)\;dx$

Jeśli $f:[a,b]\longrightarrow {\mathbb R}$ jest całkowalna w sensie Riemanna, to (jest ona całkowalna na każdym przedziale $[a, x]$ dla $x\in [a,b]$ oraz) funkcja

$F:[a,b]\longrightarrow {\mathbb R}:x\mapsto \int\limits_a^x f(t)\; dt$

jest ciągła na

[a, b]

i rożniczkowalna w każdym punkcie ciągłości funkcji

f

(zobacz podstawowe twierdzenie rachunku całkowego).

Uogólnieniem całki Riemanna na przedziale domkniętym jest całka Lebesgue'a w tym sensie, że jeśli funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna, to jest też całkowalna w sensie Lebesgue'a, a ponadto wartości obu całek są równe.