Całka nieoznaczona

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Ten artykuł wymaga dopracowania.
Należy w nim poprawić: Brak definicji (a raczej jest, ale jako własność).
Więcej informacji co należy poprawić, być może znajdziesz w dyskusji tego artykułu lub na odpowiedniej stronie. W pracy nad artykułem należy korzystać z zaleceń edycyjnych. Po naprawieniu wszystkich błędów można usunąć tę wiadomość.
Możesz także przejrzeć pełną listę stron wymagających dopracowania.

Całkę nieoznaczoną oznacza się symbolem $\int ,$ wprowadzonym w 1686 roku przez niemieckiego matematyka i filozofa Gottfrieda Leibniza. Zatem gdy $f(x) = F^{\prime}{(x)}$ , zachodzi wzór:

$\int f(x)\;dx = F(x)+C$

W zapisie tym funkcję f nazywa się funkcją podcałkową, zmienną x zmienną całkowania, zaś stałą C stałą całkowania.

Istnienie całki nieoznaczonej danej funkcji f jest równoważne istnieniu funkcji pierwotnej. Każda funkcja ciągła ma całkę nieoznaczoną (czyli ma funkcję pierwotną). Również niektóre funkcje nieciągłe mają całki nieoznaczone.

[edytuj] Twierdzenia

Twierdzenie 1 (addytywność)
Jeśli $E\subseteq\mathbb{R}$ jest przedziałem oraz istnieją całki nieoznaczone funkcji $f,g\colon E\rightarrow\mathbb{R}$ , to istnieje całka nieoznaczona funkcji $f + g$ i zachodzi wzór:

$\int(f+g)(x)dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$

Twierdzenie 2 (jednorodność)
Jeśli $E\subseteq\mathbb{R}$ jest przedziałem oraz istnieje całka nieoznaczona funkcji $f\colon E\rightarrow\mathbb{R}$ , to dla każdej stałej $a\in\mathbb{R}$ istnieje całka nieoznaczona funkcji $a f$ i zachodzi wzór:

$\int (af)(x)dx=a\int f(x)dx$

[edytuj] Przykłady

$\int x^n \mbox{ } dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C, \mbox{ } \textrm{gdzie} \mbox{ } C\in\mathbb{R} \mbox{ } (n\neq-1)$
$\int x^{-1} \mbox{ } dx=\ln x + C, \mbox{ } \textrm{gdzie} \mbox{ } C\in\mathbb{R} \mbox{ } (x>0)$
$\int x^{-1} \mbox{ } dx=\ln(-x) + C, \mbox{ } \textrm{gdzie} \mbox{ } C\in\mathbb{R} \mbox{ } (x<0)$
$\int e^x \mbox{ } dx=e^x + C, \mbox{ } \textrm{gdzie} \mbox{ } C\in \mathbb{R}$
$\int\sin x \mbox{ } dx=-\cos x + C, \mbox{ } \textrm{gdzie} \mbox{ } C\in\mathbb{R}$
$\int\cos x \mbox{ } dx=\sin x + C, \mbox{ } \textrm{gdzie} \mbox{ } C\in \mathbb{R}$