Dowód indukcyjny
Z Wikipedii
Dowód indukcyjny to rozumowanie matematyczne korzystające z zasady indukcji matematycznej.
Zwykle dowody indukcyjne stosowane są w dziedzinach blisko związanych z teorią liczb naturalnych, nie brak jednak dowodów indukcyjnych w innych dziedzinach matematyki. Poprawne rozumowanie indukcyjne wymaga nie tylko wykonania kroku indukcyjnego (porównaj: indukcja matematyczna), ale także podania co najmniej jednego szczególnego przypadku prawdziwości twierdzenia które się dowodzi.
[edytuj] Przykład dowodu indukcyjnego
Twierdzenie:
Dowód
- 1.Sprawdzenie prawdziwości twierdzenia dla n=1
- Powyższa równość jest prawdziwa, zatem twierdzenie jest prawdziwe dla n=1
- 2.Założenie indukcyjne. Zakładamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej dodatniej liczby naturalnej k.
- 3.Teza indukcyjna. Twierdzenie dla k+1
- 4.Krok indukcyjny. Pokażemy, że jeśli twierdzenie jest prawdziwe dla k to jest prawdziwe także dla k+1
- Na mocy założenia:
. Otrzymujemy zatem: 
![=\frac{(k+1)^2[k^2+4(k+1)]}{4}=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}](../../../math/a/e/9/ae9b35d523c9182c0fde97bafbc41c6e.png)
-
- Sprawdziliśmy prawdziwość twierdzenia dla n=1; następnie przy założeniu, że twierdzenie jest prawdziwe dla k, pokazaliśmy, że jest ono prawdziwe dla k+1. Stąd na mocy zasady indukcji matematycznej, twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych większych lub równych 1.
