Nierówność Cauchy'ego o średnich
Z Wikipedii
Nierówność Cauchy'ego o średnich dla liczb dodatnich a1, a2, ..., an stwierdza, że ciąg: średnia kwadratowa, średnia arytmetyczna, średnia geometryczna, średnia harmoniczna liczb a1, a2, ..., an jest nierosnący.
Oznacza to, że
![\sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}{n}} \ge \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \cdots \cdot a_n} \ge \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}}.](../../../math/c/4/d/c4dc587821afd26ece5e477dad188927.png)
Ponadto równości w powyższym wyrażeniu zachodzą wtedy i tylko wtedy, gdy liczby a1, a2, ..., an są równe.
Pierwsza z nierówności zachodzi również dla liczb ujemnych.
Nierówność Cauchy'ego o średnich łatwo wynika z nierówności o średniej uogólnionej.
