Okrąg dziewięciu punktów
Z Wikipedii
Okrąg dziewięciu punktów nazywany także jako okrąg Feuerbacha jest to okrąg, który przechodzi przez środki boków (na rysunku niebieskie) dowolnego trójkąta. Okrąg Feuerbacha przechodzi ponadto przez spodki trzech wysokości (czerwone) oraz przez punkty (zielone) dzielące na połowy trzy odcinki, które łączą wierzchołki tego trójkata z jego ortocentrum.
Środek okręgu Feuerbacha leży na prostej Eulera i jest środkiem odcinka łączącego ortocentrum ze środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie, zaś jego promień jest równy połowie promienia okręgu opisanego.
[edytuj] Dowód
Zauważmy, że odcinek C'SC jest średnicą okręgu opisanego na ΔC'SCHC, bo 
jest prosty(kąt między bokiem a wysokością na niego opuszczoną), więc jest oparty na średnicy.
,
gdzie H jest ortocentrum.
Zatem SCB'||AHA.
więc B'C'||CB.
Zatem 
więc punkty SC,B',C',HC leżą na jednym okręgu.
Podobnie SCA'||BHB oraz A'C'||CA, więc 
, czyli punkt A' również leży na okręgu opisanym na ΔC'SCHC. Zatem SC,HC leżą na okręgu opisanym na ΔA'B'C'.
Analogicznie otrzymujemy, że na tym okręgu leżą SB,HB oraz SA,HA
Z czego wynika, że wszystkie dziewięć punktów leży na jednym okręgu.
