Prosta potęgowa

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Prosta potęgowa (oś potęgowa) dwóch okręgów to zbiór takich punktów, które mają równe potęgi względem ich obu. Wszystkie punkty o tej własności leżą na pewnej prostej prostopadłej do prostej przechodzącej przez środki okręgów.

Prosta potęgowa (czerwona)

[edytuj] Dowód

Niech $r 1$ , $r 2$ , $x$ , oznaczają odpowiednio promienie okręgów oraz odległość między ich środkami.

Załóżmy, że dla pewnego punktu $P$ leżącego na prostej $S 1 S 2$ zachodzi

P (P, C 1) = P (P, C 2)

$|PS_1|^2-r_1^2=|PS_2|^2-r_2^2$

Jeśli $x = 0$ , to $| P S 1 | = | P S 2 |$ dla każdego $P$ , więc w przypadku, gdy $r 1 = r 2$ potęga każdego punktu względem obu okręgów jest taka sama (okręgi pokrywają się). W przypadku różnych promieni równość $P (P, C 1) = P (P, C 2)$ nie zachodzi dla zadnego punktu. W dalszych rozważaniach rozpatrujemy tylko $x > 0$ .

Rozpatrzmy następujące przypadki:

$P$ leży poza odcinkiem $S 1 S 2$ bliżej punktu $S 1$ , czyli $| P S 2 | = | P S 1 | + x$ .

$|PS_1|^2-r_1^2=|PS_2|^2-r_2^2$

$|PS_1|^2-r_1^2=(|PS_1|+x)^2-r_2^2$

$|PS_1|^2-r_1^2=|PS_1|^2 + x^2 + 2 \cdot |PS_1| \cdot x -r_2^2$

$r_2^2-r_1^2-x^2 = 2 \cdot |PS_1| \cdot x$

$|PS_1|=\frac{r_2^2-r_1^2}{2x}-\frac{x}{2}$

$P$ leży na odcinku $S 1 S 2$ , czyli $| P S 2 | = x - | P S 1 |$ .

$|PS_1|^2-r_1^2=|PS_2|^2-r_2^2$

$|PS_1|^2-r_1^2=(x-|PS_1|)^2-r_2^2$

$|PS_1|^2-r_1^2=|PS_1|^2 + x^2 - 2 \cdot |PS_1| \cdot x -r_2^2$

$r_2^2-r_1^2-x^2 = -2 \cdot |PS_1| \cdot x$

$|PS_1|=-(\frac{r_2^2-r_1^2}{2x}-\frac{x}{2})$

$P$ leży poza odcinkiem $S 1 S 2$ bliżej punktu $S 2$ , czyli $| P S 2 | = | P S 1 | - x$ .

$|PS_1|^2-r_1^2=|PS_2|^2-r_2^2$

$|PS_1|^2-r_1^2=(|PS_1|-x)^2-r_2^2$

$|PS_1|^2-r_1^2=|PS_1|^2 + x^2 - 2 \cdot |PS_1| \cdot x -r_2^2$

$r_2^2-r_1^2-x^2 = -2 \cdot |PS_1| \cdot x$

$|PS_1|=-(\frac{r_2^2-r_1^2}{2x}-\frac{x}{2})$

Zatem jeśli przyjmiemy zwrot zgodny z wektorem $\vec{S_2 S_1}$ za dodatni, to $\vec{PS_1}=\frac{r_2^2-r_1^2}{2x}-\frac{x}{2}$ . Wektor $\vec{PS_1}$ jednoznacznie wyznacza punkt $P$ .

Zatem na prostej $S 1 S 2$ jest dokładnie jeden taki punkt $P$ , że jego potęga względem obu okręgów jest taka sama. Weźmy pewien punkt $P'$ leżący na prostopadłej do $S 1 S 2$ przechodzącej przez $P$ . Pokażemy, że potęga punktu $P'$ jest taka sama dla obu okręgów.

Potęga $P$ jest taka sama względem obu okręgów, więc:

P (P, C 1) = P (P, C 2)

$|PS_1|^2-r_1^2=|PS_2|^2-r_2^2$

$|PS_1|^2+|P'P|^2-r_1^2=|PS_2|^2+|P'P|^2-r_2^2$

Z twierdzenia Pitagorasa mamy, że

| P S 1 | 2 + | P' P | 2 = | P' S 1 | 2

oraz

| P S 2 | 2 + | P' P | 2 = | P' S 2 | 2

więc

$|P'S_1|^2-r_1^2=|P'S_2|^2-r_2^2$

P (P', C 1) = P (P', C 2)

czyli dla dowolnego punktu $P'$ leżącego na prostej prostopadłej do $S 1 S 2$ przechodzącej przez punkt $P$ potęga względem obu okręgów jest taka sama.

Załóżmy, że pewien punkt $R$ leży poza prostą potęgową i $P (R, C 1) = P (R, C 2)$ . Niech $R'$ będzie jego rzutem prostokątnym na prostą łączącą środki okręgów.

$|R'S_1|^2+|R'R|^2-r_1^2=|R'S_2|^2+|R'R|^2-r_2^2$

$|R'S_1|^2-r_1^2=|R'S_2|^2-r_2^2$

P (R', C 1) = P (R', C 2)

Zatem na prostej $S 1 S 2$ są dwa różne punkty, których potęga względem obu okręgów jest taka sama - $P$ oraz $R'$ , co nie jest możliwe. Zatem wszystkie punkty o tej samej potędze względem dwóch okręgów leżą na prostej potęgowej.

[edytuj] Właściwości

Gdy dwa okręgi są styczne, to ich prosta potęgowa jest ich wspólną styczną przechodzącą przez ich punkt styczności. Dowód: Potęga punktu styczności względem obu okręgów jest równa 0, więc potęgowa jest prostopadłą do $S 1 S 2$ przechodzącą przez ten punkt.
Gdy okręgi przecinają się w dwóch punktach, to potęgowa przechodzi przez ich punkty przecięcia. Dowód: Potęgi punktów przecięcia (jako punktów leżących na okręgach) są równe 0 względem obu okręgów, więc leżą na prostej potegowej.
Gdy okręgi nie przecinają się, to prosta potęgowa tych okręgów leży poza nimi.
Gdy mamy trzy okręgi, to trzy proste potęgowe (dla trzech par okręgów) tych okręgów są współpękowe. Przecinają się w punkcie, którego potęgi względem wszystkich trzech okręgów są równe. Dowód: Potęga punktu $T$ przecięcia prostej potęgowej okręgów $C 1$ i $C 2$ z prostą potęgową okręgów $C 1$ i $C 3$ jest taka sama względem okręgów $C 1$ i $C 2$ oraz względem okręgów $C 1$ i $C 3$ , więc jest taka sama względem $C 2$ i $C 3$ . Zatem potęgowa $C 2$ i $C 3$ również przechodzi przez punkt $T$ .