Dyskusja:Punkt przegięcia
Z Wikipedii
Cytaty:
- (...) funkcja doznaje zmiany wypukłości
- (...) ma promień krzywizny nieskończenie duży (...)
- w punkcie przegięcia funkcja jest częścią linii prostej, a nie łuku (okręgu).
Komentarze:
- funkcja nie może niczego doznawać
- nie ma czegoś takiego jak nieskończenie duży promień krzywizny, to tylko "intuicyjny" sposób mówienia, co należałoby wyraźnie zaznaczyć
- o co tu chodzi? W punkcie funkcja jest częścią linii prostej? W punkcie?
Podsumowanie: ręce opadają... C4 20:24, 27 kwi 2004 (CEST)
[edytuj] Taa
"Punkt przegięcia – punkt, w którym funkcja ma drugą pochodną równą zeru." No chyba jednak nie, jak druga pochodna sie zeruje w jakims punkcie to nie oznacza to ze jest on punktem przegiecia :]
- Oczywiście, jest to warunek konieczny, ale nie wystarczający. Trzeba było od razu poprawić. --matusz d 17:41, 6 lip 2006 (CEST)
[edytuj] Coś tu nie gra
Nie wiem, jakie sa wymagania ścisłościowe wikipedii, ale ta "definicja" nie mówi wiele. Pojawiają się też w artykuje stwierdzenia sprzeczne. Nie umiem powiedzieć, jaka definicja punktu przegięcia jest powszechnie przyjęta w analize (ja bym odwołał się do np. Fichtenholza, ale nie mam w domu...)
- Cytuję klasyka: Punkt x0 krzywej nazywa się punktem przegięcia, jeśli oddziela on część krzywej, gdzie funkcja jest wypukla od części, gdzie jest wklęsła. Czyli jak u nas.
Żeby uargumentować to, co mówię, spróbuję prześledzić podane w artykule stwierdzenia na przykładzie funkcji f(x) = x^4 sin(1/x) i punktu 0.
- Dobry przykład! Oczywiście, dookreślamy f(0)=0?
"Punkt przegięcia – w analizie matematycznej punkt na wykresie funkcji w którym zachodzi zmiana wypukłości funkcji tj. funkcja wypukła na lewo od tego punktu staje się na prawo od niego wklęsła i na odwrót."
- Pamiętaj, że tę definicję należy rozumieć warunkowo - "jeżeli oddziela ..., to nazywamy go punktem przegięcia". Podobnie pochodna funkcji w punkcie: jeżeli odpowiednia granica istnieje, to nazywamy ją pochodną funkcji; jeśli nie, pochodnej w punkcie nie ma.
Ta definicja właśnie okazuje swoją nieprecyzję... Chyba nasza f(x) nie ma w 0 punktu przegięcia. Tj. nie istnieje otoczenie zera, czy to lewo, czy prawostronne, w którym byłaby ustalona wypukłość f.
- Jeśli warunek nie zachodzi, to punktu przegięcia nie ma. Dlaczego tak Cię to niepokoi?
"Jeżeli funkcja ma pierwszą pochodną w punkcie przegięcia i pewnym jego otoczeniu, to zarówno w lewo- jak i prawostronnym sąsiedztwie tego punktu pochodna powinna mieć ten sam znak."
- Przecież w punkcie przegięcia pochodna wcale nie musi istnieć - weź krzywą z ostrzem lub funkcję y=pierw3(x).
Aha. Czyli f(x) nie ma w zerze punktu przegięcia, bo ma pierwszą (i zresztą drugą i trzecią) pochodną w zerze, a znak pochodnej się zmienia w otoczeniu zera.
- f'(x)=4x^3*sin(1/x)-x^2*cos(1/x) - o znaku decyduje drugi składnik. Trudno tu nawet powiedzieć, że znak się zmienia, on szaleje. Funkcja nie ma punktu przegięcia, ale nie dlatego, że coś dzieje się ze znakiem pochodnej, a dlatego, że nie ma ustalonej wypukłości na lewo i prawo.
"Styczna do wykresu funkcji w punkcie przegięcia przecina wykres. Korzystając z tej równoważnej definicji punkt przegięcia można zdefiniować także dla dowolnej krzywej."
Chwila... Styczna do wykresu f(x) w zerze (prosta pozioma, oczywiście - styczna istnieje, do tego wystarcza istnienie pierwszej pochodnej) przecina jak najbardziej wykres. Nawet w dowolnie bliskim otoczeniu zera. Czy przecina w zerze to trudno stwierdzić.
Co gorsza, jesli weźmiemy g(x) = x^3(2 + sin(1/x)), to już nie ma żadnych wątpliwości - styczna do wykresu ewidentnie przecina wykres w zerze, jakkolwiek by tego pojęcia nie definiować, natomiast pierwsza pochodna wciąż zmienia znak w otoczeniu zera.
W sumie - coś jest nie tak.
Onufry (onufry@mimuw.edu.pl)
- I tu masz rację. Ostatnia uwaga jest bełkotliwa - jeśli można zdefniować, to autor powinien to uczynić. Inni poprawiacze powinni zwrócić uwagę na bełkot. Nie zwróciliśmy - nasz błąd. Dzięki za rzeczowe uwagi.
- Przy okazji, klasyk napomyka o innym (nierównoważnym) sposobie definiowania p-ktu przegięcia. Na końcu ustępu podaje też do rozważenia funkcję y=x^5(1+sin^2(1/x)). Pozdrawiam, 4@
