Teoremat Buckinghama

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Teoremat Buckinghama znany też jako teoremat pi (teoremat Π) jest kluczowym prawem stosowanym w analizie wymiarowej. Teoremat ten wprowadził E. Buckingham w 1914 roku.

Stwierdza on, że jeżeli mamy jakieś równanie opisane przez pewną liczbę niezależnych parametrów fizycznych (n) to równanie to możemy wyrazić przy pomocy modułów bezwymiarowych, których liczba równa jest liczbie tych parametrów fizycznych pomniejszonych o wymiary podstawowe.

Jeżeli mamy równanie będące funkcją n parametrów niezależnych to możemy je zapisać w postaci:

$f(Q_1, Q_2, Q_3, \ldots, Q_n)=0$

gdzie $Q_1 \ldots Q_n$ są zmiennymi niezależnymi.

Możemy je zapisać w postaci funkcji modułów bezwymiarowych:

$f(\pi_1, \pi_2, \ldots, \pi_m)=0$

gdzie $\pi_1 \ldots \pi_{n-r}$ są modułami bezwymiarowymi.

Jeżeli liczbę modułów bezwymiarowych oznaczymy m, a liczbę wymiarów podstawowych r to liczba modułów bezwymiarowych równa się m = n - r.

Każdy taki moduł może być przedstawiony w postaci:

$\pi = Q_1^{a_1}\,Q_2^{a_2} \ldots Q_n^{a_n}$

gdzie $a_1 \ldots a_i$ - stałe

[edytuj] Interpretacja

Interpretacja teorematu pi opiera się na pojęciach przestrzeni metrycznej i przestrzeni wektorowej.

Teoremat ten traktuje jednostki fizyczne (podstawowe i ich pochodne) jako wektory w przestrzeni wektorowej, a jednostki podstawowe jako wektory bazowe.

Jeżeli mamy układ złożony z n jednostek fizycznych, w tym m jednostek podstawowych, to otrzymamy macierz wymiarową złożoną z m wierszy i n kolumn, którą możemy zapisać jako układ:

$f(Q_1, Q_2, Q_3, \ldots, Q_n)=0$

Rząd tej macierzy (A) jest równy lub mniejszy niż m (rząd oznaczmy przez r):

$R \left(A \right) = r \leq m$

Jeżeli r<n oznacza to, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n-r parametrów. Układ taki można zapisać:

$f(Q_1, Q_2, Q_3, \ldots, Q_r, Q_{k_1}, \ldots, Q_{k_{n-r} } )=0$

Zmienne $Q_1 \ldots Q_r$ są niezależne (to znaczy, że żadnej z nich nie da się wyrazić jako kombinacji liniowej innej), a $Q_{k_1} \ldots Q_{k_{n-r} }$ to parametry.

Z algebry liniowej wiadomo, że dowolną kolumnę $Q k$ , gdzie r<k<n, można przedstawić jako kombinację liniową pierwszych r kolumn :

$Q_k = Q_{1}^{b_1} \cdot Q_{2}^{b_2} \ldots Q_{r}^{b_r}$

gdzie $b_1 \ldots b_r$ to stałe będące liczbami rzeczywistymi.

Z układu r równań można obliczyć r niewiadomych.

Pozostałe zmienne ( $Q k$ , gdzie r<k<n) można przedstawić w postaci bezwymiarowej dzieląc każdą z nich przez kombinację r pierwszych zmiennych:

$\pi_i = \frac{Q_{k_i}}{ Q_{1}^{b_1} \cdot Q_{2}^{b_2} \ldots Q_{r}^{b_r} }$

Wtedy układ równań przyjmuje postać;

$f(Q_1, Q_2, Q_3, \ldots, Q_r, \pi_1, \ldots, \pi_{n-r})=0$

W układzie tym jedynie zmienne $Q_1 \ldots Q_r$ posiadają wymiar. Nie da się ich przedstawić w postaci bezwymiarowej ponieważ z założenia są niezależne wymiarowo. Ponieważ każde równanie fizyczne musi być jednorodne wymiarowo zmienne te muszą zostać usunięte z równania.

Układ równań przyjmuje nową formę (wszystkie zmienne przedstawione są w nim w postaci bezwymiarowej):

$f(\pi_1, \ldots, \pi_{n-r})=0$

Liczba modułów bezwymiarowych, przy pomocy której da się wyrazić równanie równa jest n-r

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Literatura

Buckingham E., On physically similar systems; illustrations of the use of dimensional equations. Phys. Rev. 4, 345-376 (1914).
Buckingham E., The principle of similitude. Nature 96, 396-397 (1915).
Buckingham E., Model experiments and the forms of empirical equations. Trans. A.S.M.E. 37, 263-296 (1915).

Źródło: "http://pl.wikipedia.org../../../t/e/o/Teoremat_Buckinghama_7e70.html"

Kategorie: Inżynieria • Fizyka matematyczna