Teoria kategorii

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Teoria kategorii - dział matematyki, który bada struktury matematyczne i związki między nimi.

Spis treści

1 Wprowadzenie
2 Kategorie
- 2.1 Definicje
- 2.2 Przykłady
3 Zobacz też
4 Linki zewnętrzne

[edytuj] Wprowadzenie

Podstawy teorii kategorii stworzyli amerykańscy matematycy Samuel Eilenberg i Saunders Mac Lane. W swojej pionierskiej pracy z 1945 roku wprowadzili oni główne pojęcia tej teorii (czyli przede wszystkim kategorie oraz ich odwzorowania nazywane funktorami). Teoria kategorii jest nie tylko dziedziną nauki, lecz także pewnym sposobem myślenia oraz wyrażania zależności pomiędzy różnymi obiektami matematycznymi. Teoriokategoryjny sposób pojmowania rzeczywistości matematycznej różni się znacznie od tego, który oferuje teoria mnogości. Wprawdzie to na gruncie tej ostatniej sformalizowano współczesną matematykę, lecz wielu uważało teorię kategorii za godną uwagi alternatywę.

Niektórzy matematycy uważają teorię kategorii za dział algebry, inni zaś za samodzielną dyscyplinę. Na rzecz tego drugiego stanowiska przemawia fakt, że teoria kategorii ma bardzo ogólny charakter i liczne zastosowania w rozmaitych działach matematyki (przede wszystkim zaś w topologii algebraicznej i geometrii algebraicznej). O silnych związkach z algebrą świadczy zaś choćby to, że niektórzy matematycy utożsamiają teorię kategorii z algebrą homologiczną, jedną z poddziedzin współczesnej algebry.

[edytuj] Kategorie

[edytuj] Definicje

Kategoria składa się z:

klasy obiektów,
dla każdych dwóch obiektów A i B klasy Mor(A,B) morfizmów z A do B. Jeżeli f należy do Mor(A,B), to wówczas piszemy f : A → B,
dla każdych trzech obiektów A, B oraz C określona jest operacja Mor(A,B) × Mor(B,C) → Mor(A,C) nazywana złożeniem morfizmów

taka że:

składanie jest łączne; jeżeli f : A → B, g : B → C oraz h : C → D to wówczas h o (g o f) = (h o g) o f, oraz
istnieje morfizm identycznościowy; dla każdego obiektu X istnieje morfizm id_X : X → X nazywany morfizmem identycznościowym dla X, taki że dla każdego morfizmu f : A → B mamy id_B o f = f = f o id_A

Złożenie f : A → B z g : B → C zapisujemy jako g o f lub gf.

Z aksjomatów tych wynika że dla każdego obiektu istnieje dokładnie jeden morfizm identycznościowy.

Jeżeli rozpatrywana klasa obiektów jest zbiorem, to wówczas kategorię nazywamy małą. Istnieje wiele ważnych kategorii które nie są małe.

[edytuj] Przykłady

Każda kategoria jest określana przez jej obiekty i morfizmy pomiędzy nimi.

Kategoria Set wszystkich zbiorów wraz z funkcjami pomiędzy nimi (w niektórych źródłach oznaczana jako Ens, od francuskiego ensamble).
Kategoria Gr składająca się z grup wraz z homomorfizmami.
Kategoria Ab składająca się z grup abelowych wraz z ich homomorfizmami.
Kategoria Vect_K przestrzeni wektorowych nad ciałem K wraz ze wszystkimi odwzorowaniami K-liniowymi.
Kategoria Metr przestrzeni metrycznych wraz ze wszystkimi kontrakcjami.
Kategoria Top przestrzeni topologicznych wraz ze wszystkimi przekształceniami ciągłymi.
Ważnym przykładem kategorii, który jednocześnie pokazuje, że morfizmami nie zawsze muszą być przekształcenia, jest poset. Obiektom kategorii odpowiadają tu elementy posetu. Ponatdo dla każdych dwóch obiektów (tj. elementów danego posetu) x, y istnieje morfizm z x do y wtedy i tylko wtedy gdy $x \leq y$ . Łatwo można sprawdzić, że ze zwrotności relacji częściowego porządku wynika istnienie morfizmu identycznościowego dla każdego obiektu x, a z przechodniości wynika możliwość składania morfizmów.
Dla dowolnej kategorii C możemy rozpatrywać kategorię, która składa się z obiektów kategorii C i w której zbiór morfizmów składa się z morfizmów odwrotnych do morfizmów z C. Taka nowa kategoria nazywana jest kategorią dualną do C i oznaczana jest jako C^op.