Twierdzenie o ilości krawędzi (graf hamiltonowski)

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria grafów.

Najważniejsze pojęcia
graf
podgraf
cykl
klika
stopień wierzchołka
dopełnienie grafu
obwód grafu
pokrycie wierzchołkowe
liczba chromatyczna
indeks chromatyczny
izomorfizm grafów
homeomorfizm grafów

więcej...

Wybrane klasy grafów
graf pełny
graf spójny
drzewo
graf dwudzielny
graf regularny
graf eulerowski
graf hamiltonowski
graf planarny

więcej...

Algorytmy grafowe
A*
Bellmana-Forda
Breadth-first search
Depth-first search
Dijkstry
Fleury'ego
Floyda-Warshalla
Johnsona
Kruskala
Prima
przeszukiwanie grafu
najbliższego sąsiada

Inne zagadnienia
kod Graya
diagram Hassego

Spis treści

Twierdzenie o ilości krawędzi pozwala stwierdzić, czy graf jest hamiltonowski.

Jeśli graf prosty o n wierzchołkach ma co najmniej m krawędzi, gdzie:

$m=\frac{1}{2}\cdot (n-1)(n-2)\ +\ 2,$

to jest hamiltonowski.

Dla dowolnego grafu prostego G załózmy, że zachodzi

$|E(G)|\ge \frac{1}{2}\cdot (n-1)(n-2)\ +\ 2\ =\ {n-1 \choose 2}\ +\ 2$

i weżmy wierzchołki v i u takie, że:

$\{ v,u\}\notin E(G)$ .

Niech H będzie grafem G z którego usunięto wierzchołki v i u oraz kończące się w nich krawędzie. Ponieważ:

$\{ v,u\}\notin E(G),$

więc usunęliśmy deg(v) + deg(u) krawędzi i dwa wierzchołki. H jest podgrafem grafu $K n - 2$ , a więc:

${n-2 \choose 2}\ =\ |E(K_{n-2})|\ge |E(H)|\ge {n-1 \choose 2}\ +\ 2\ -\ deg(v)\ -\ deg(u)$

z czego wynika, że:

$deg(v)\ +\ deg(u)\ge {n-1 \choose 2}\ -\ {n-2 \choose 2}\ +\ 2\ =\ \frac{1}{2}(n-2)\cdot 2\ +\ 2\ =\ n,$

a więc G spełnia założenia twierdzenia Ore.

To jest tylko zalążek artykułu związanego z matematyką. Jeśli możesz, rozbuduj go.