Aksjomaty Zermelo-Fraenkela

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Aksjomatyka teorii mnogości Zermelo-Fraenkla, bez aksjomatu wyboru w skrócie oznaczana ZF, a wraz z nim jako ZFC:

Aksjomat ekstensjonalności. Dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same elementy.

$\forall A, B: A=B \iff (\forall x: x \in A \iff x \in B)$

Aksjomat zbioru pustego. Istnieje zbiór, do którego nie należy żaden element (zbiór pusty):

$\exist \varnothing: \forall x: \lnot (x \in \varnothing)$ .

Istnieje jednak możliwość udowodnienia go jako twierdzenia wynikającego z aksjomatu podzbiorów.

Aksjomat podzbiorów (zwany również aksjomatem wyróżniania). Niech P będzie jednoargumentowym predykatem. Aksjomat ten stwierdza, że dla każdego zbioru A istnieje zbiór B, do którego należą te i tylko te elementy zbioru A, dla których prawdą jest P:

$\forall A, \exist B, \forall C : C \in B \iff C \in A \and P(C)$

Za pomocą aksjomatu zbioru pustego oraz aksjomatu zastępowania można udowodnić ten aksjomat dlatego jest on niekiedy pomijany na liście aksjomatów ZF i ZFC.

Aksjomat pary. Dla każdych dwóch zbiorów istnieje zbiór zawierający jako elementy dokładnie te dwa zbiory.

$\forall A, B: \exist C: \forall D: D \in C \iff (D = A \or D = B)$

Aksjomat sumy. Dla każdego zbioru A istnieje zbiór, do którego należą wszystkie elementy elementów zbioru A i nic więcej.

$\forall A: \exist B: \forall x: x \in B \iff (\exist D: x \in D \and D \in A)$

Aksjomat nieskończoności. Istnieje zbiór induktywny, czyli taki, że należy do niego zbiór pusty oraz jeśli należy do niego zbiór x, to należy także suma x i zbioru jednoelementowego, którego jedynym elementem jest x.

$\exist \mathbf{N}: \varnothing \in \mathbf{N} \and (\forall x: x \in \mathbf{N} \implies x \cup \{x\} \in \mathbf{N})$

Istnieje wiele takich zbiorów. Przekrój wszystkich takich zbiorów jest najmniejszym zbiorem o tych właściwościach i określa zbiór liczb naturalnych.

Aksjomat zastępowania (słabszą jego wersją jest aksjomat wycinania). Przekrój dowolnego zbioru A i klasy określonej przez dowolne odwzorowanie f (przedstawionej jako predykat P, dla którego gdy zachodzi P(X,Y₁) oraz P(X,Y₂) zawsze wynika Y₁ = Y₂), jest zbiorem.

$(\forall X: \exist!Y: P(X, Y)) \Rightarrow (\forall A: \exist B: \forall C: C \in B \iff \exist D: D \in A \and P(D, C))$

Aksjomat zbioru potęgowego. Dla każdego zbioru A istnieje jego zbiór potęgowy P, czyli zbiór, do którego należą wszystkie podzbiory zbioru x.

$\forall A: \exists\; {\mathcal{P}}: \forall B: B \in {\mathcal{P}} \iff (\forall x: x \in B \implies x \in A)$

Aksjomat regularności (ufundowania). Każdy niepusty zbiór A zawiera pewien element B taki, że A i B są rozłączne.

$\forall A: A \neq \varnothing \implies \exists B: B \in A \land \lnot \exist C: C \in A \land C \in B$

Jest on niezależny od pozostałych aksjomatów, czasem rozważane są teorie, w których jako aksjomat przyjmuje się jego negację. Występujące w takich teoriach nieufundowane zbiory nosza nazwę hiperzbiorów.

Aksjomat wyboru Jeśli A jest zbiorem wzajemnie rozłącznych niepustych zbiorów, wówczas istnieje zbiór zawierający dokładnie po jednym elemencie każdego elementu zbioru A.

$\forall A : ((\varnothing \not \in A) \wedge \forall X : \forall Y : \forall Z : ((X \in A \wedge Y \in A \wedge Z \in X \wedge Z \in Y) \Rightarrow (X = Y)))$

$\Rightarrow\;$

$\exist\ B : \forall X : (X \in A \Rightarrow \exist!\ Y : Y \in X \wedge Y \in B)$

Innym częstym sformułowaniem tego aksjomatu jest: niech A będzie zbiorem niepustych zbiorów, wówczas istnieje funkcja f przyporządkowująca każdemu elementowi B zbioru A jeden element ze zbioru B.

Za pomocą pozostałych aksjomatów można udowodnić równoważność tego aksjomatu z lematem Kuratowskiego-Zorna, oraz twierdzeniem, że w każdym zbiorze istnieje relacja dobrego porządku.

Źródło: "http://pl.wikipedia.org../../../a/k/s/Aksjomaty_Zermelo-Fraenkela_5cbb.html"

Kategorie: Teoria mnogości • Logika