Baza (topologia)
Z Wikipedii
|
Baza przestrzeni topologicznej to taka rodzina zbiorów otwartych tej przestrzeni, że każdy zbiór otwarty przestrzeni jest sumą pewnej podrodziny zbiorów bazy.
Ściśle biorąc, podane pojęcie bazy definiuje bazę otwartą – lecz zwykle o takich właśnie bazach się mówi. Pojęcie bazy domkniętej określone jest w dalszej części.
[edytuj] Przykłady
- rodzina wszystkich przedziałów otwartych na prostej rzeczywistej jest bazą w naturalnej topologii prostej (tj. topologii wyznaczonej przez metrykę),
- rodzina wszystkich skończonych przedziałów otwartych na osi liczbowej jest również bazą wyżej wspomnianejj przestrzeni,
- rodzina wszystkich kul otwartych w dowolnej przestrzeni metrycznej jest bazą w naturalnej (tj. metrycznej) topologii tej przestrzeni,
- rodzina wszystkich kwadratów otwartych na płaszczyźnie jest bazą płaszczyzny w topologii euklidesowej.
[edytuj] Własności bazy przestrzeni
Podstawowe własności bazy:
- Jeżeli A i B są zbiorami z bazy, to w zbiorze
zawarty jest pewien element bazy. - Dla każdego punktu przestrzeni, dowolne otoczenie punktu zawiera element bazy.
- Odwzorowanie
jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz dowolnego elementu bazy przestrzeni Y zawiera element bazy przestrzeni X. - Jeżeli
są bazami odpowiednio przestrzeni 
, to 
jest bazą przestrzeni 
.
[edytuj] Ciężar przestrzeni
Ciężarem (wagą) przestrzeni topologicznej 
nazywamy najmniejszą liczbę kardynalną κ taką, że istnieje w tej przestrzeni baza mocy κ. Na przykład, ciężar przestrzeni dyskretnej jest równy mocy zbioru jej elementów. Ciężar przestrzeni jest funkcją kardynalną.
- w(X) = min{ | B | :B - baza
[edytuj] Określanie topologii za pomocą bazy
Aby w danym zbiorze określić topologię, wystarczy wyróżnić w nim rodzinę B podzbiorów spełniającą trzy warunki:
- B zawiera zbiór pusty.
- Suma zbiorów rodziny B jest całą przestrzenią.
- Część wspólna dowolnej skończonej liczby zbiorów z B należy do B.
Za zbiory otwarte należy wówczas uważać dowolne sumy elementów z B oraz ich skończone części wspólne. Jest to bardzo ogólna i wygodna metoda określania topologii.
Na przykład: w przestrzeni 
niech B będzie rodziną półpłaszczyzn bez brzegu wyznaczonych przez półproste o równaniach x = c, gdzie 
. Dołączając do B zbiór pusty, otrzymujemy rodzinę spełniającą wyżej wymienione warunki. Określa ona zatem pewną topologię w – nie jest to jednak topologia euklidesowa.
[edytuj] Baza domknięta
Analogicznie do bazy otwartej można określić bazę domkniętą przestrzeni topologicznej. Jest to taka rodzina zbiorów, że każdy zbiór domknięty jest częścią wspólną jej pewnej podrodziny.
