Funkcja ciągła

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Zasugerowano, aby artykuł ciągłość funkcji w punkcie zintegrować z tym artykułem lub sekcją. (dyskusja)

Funkcje matematyczne

dziedzina, obraz, przeciwobraz

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
wymierna - niewymierna
wielomian
stała - liniowa - kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne - cyklometryczne
hiperboliczne - area
wykładnicza - logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu - Γ - Β (beta) η - W Lamberta - Bessela - ζ

Funkcje teorioliczbowe

Möbiusa - φ - π - λ

Własności

przebieg zmienności:
parzystość - monotoniczność - ograniczoność - okresowość - różnowartościowość - suriektywność - wzajemna jednoznaczność

ciągłość - różniczkowalność - całkowalność

Ciągłość – jedna z najważniejszych własności funkcji studiowana i używana w matematyce, a szczególnie w analizie matematycznej, analizie funkcjonalnej i topologii.

Spis treści

1 Intuicja
2 Funkcje rzeczywiste
- 2.1 Definicja
- 2.2 Własności i przykłady
3 Funkcje pomiędzy przestrzeniami topologicznymi
4 Zobacz też

[edytuj] Intuicja

Intuicyjnie, ciągłość funkcji oznacza, że jeśli argumenty funkcji różnią się "mało", to i wartości, jakie funkcja przyjmuje dla tych argumentów też "niewiele" się różnią.

Również intuicyjnie, funkcja rzeczywista określona na przedziale liczbowym jest ciągła, jeżeli jej wykres można narysować nie odrywając ołówka od papieru. (Oczywiście rysowanie rozumiemy tu jako czynność abstrakcyjną, nieograniczoną w czasie ani przestrzeni, tzn. dopuszczamy "narysowanie" linii nieskończenie długiej, np. całej prostej lub paraboli.)

Intuicja ta zawodzi w przypadku funkcji, których dziedzina nie jest przedziałem, a więc nie jest spójna – ich wykresów nie da się "narysować jednym pociągnięciem ołówka", gdyż składają się z osobnych gałęzi. Przykładami takich funkcji są funkcja homograficzna (wykres złożony z dwu gałęzi) i funkcja trygonometryczna tangens (nieskończony ciąg gałęzi). Jednak na każdej spójnej składowej dziedziny (czyli w każdym przedziale zawartym w dziedzinie funkcji) poszczególne gałęzie wykresu zachowują przedstawioną intuicyjną własność. Istnieją funkcje ciągłe, które są bardzo skomplikowane i np. nie mają pochodnej w żadnym punkcie – mają one strukturę fraktala. Dobrym przykładem tutaj może być funkcja dana przez pierwszą współrzędną krzywej Peano - wykresów takich funkcji nie da się narysować.

[edytuj] Funkcje rzeczywiste

[edytuj] Definicja

Przypuśćmy, że $X\subseteq {\mathbb R}$ oraz $f:X\longrightarrow {\mathbb R}$ . Powiemy że funkcja $f$ jest ciągła na swojej dziedzinie (albo po prostu funkcja $f$ jest ciągła) jeśli $f$ jest ciągła w każdym punkcie swej dziedziny $X$ . Warunek ten można zapisać jako

$\forall_{x\in X}\forall_{\varepsilon>0}\exists_{\delta>0}\forall_{y\in X}\; \left(|x-y|<\delta\ \Rightarrow\ |f(x)-f(y)|<\varepsilon\right).$

Należy zwrócić uwagę na kolejność kwantyfikatorów w powyższej formule. Przesunięcie kwantyfikatora $\forall_{x\in X}$ na trzecią pozycję (za $\exists_{\delta>0}$ ) prowadzi do sformułowania o wiele silniejszej własności, tzw. ciągłości jednostajnej.

[edytuj] Własności i przykłady

Każda z funkcji elementarnych jest ciągła.
Rozważmy funkcję $f: \mathbb R \to \mathbb R$ daną wzorem:

$f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x} & \mbox{dla } x\ne0 \\\; 1 & \mbox{dla } x=0\end{cases}$

Funkcja $f\,$ jest ciągła.

Jeśli $X\subseteq \mathbb R$ i $f,g:X \to \mathbb R$ są funkcjami ciągłymi, to funkcje $f+g,f-g,f\cdot g,f/g$ są ciągłe (przy czym funkcja ilorazowa $f / g$ jest rozważana tylko na $\{x\in X:g(x)\neq 0\}$ ).
Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.
Jeśli jest funkcją ciągłą, to
- $f$ jest jednostajnie ciągła na $[a, b]$ , oraz
- $f$ przyjmuje wartość największą oraz wartość najmniejszą, tzn dla pewnych $x_0,x_1\in [a,b]$ mamy że $\forall_{x\in [a,b]}\; f(x_0)\leq f(x)\leq f(x_1)$ , oraz
- $f$ przyjmuje każdą wartość pomiędzy $f (a)$ i $f (b)$ .
Funkcja $f: \mathbb R \to \mathbb R$ jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz każdego otwartego podzbioru $\mathbb R$ jest otwarty.

[edytuj] Funkcje pomiędzy przestrzeniami topologicznymi

Definicję ciągłości podaną wcześniej dla funkcji rzeczywistych można bez kłopotu rozszerzyć na funkcje pomiędzy dowolnymi przestrzeniami metrycznymi, zastępując każde użycie wartości bezwzględnej przez użycie metryki w odpowiedniej przestrzeni. Gdy mamy do czynienia z funkcjami pomiędzy dowolnym przestrzeniami topologicznymi, możemy najpierw zdefiniować ciągłość funkcji w punkcie i potem określić funkcje ciągłe jako takie które są ciągłe w każdym punkcie swojej dziedziny. Takie podejście nie jest jednak przyjmowane i dla funkcji pomiędzy przestrzeniami topologicznymi podaje się następującą elegancką definicję.

Ta sekcja wymaga dopracowania.
Więcej informacji co należy poprawić, być może znajdziesz w dyskusji tego artykułu lub na odpowiedniej stronie. W pracy nad artykułem należy korzystać z zaleceń edycyjnych. Po naprawieniu wszystkich błędów można usunąć tę wiadomość.
Możesz także przejrzeć pełną listę stron wymagających dopracowania.

[edytuj] 5 równoważnych warunków ciągłości funkcji

1) zbieżność argumentów funkcji pociąga za sobą zbieżność wartości tej funkcji

(czyli jeżeli biorę punkty na osi x, zbiegające się do $x 1$ to wartości funkcji $f (x)$ zbiegają się do $f (x 1)$

$\forall _{x} x \rightarrow x_{1} \Rightarrow f(x) \rightarrow f(x_{1})$

2) $\forall _{x} \forall _{\epsilon > 0} \exists _{\delta > 0 } : \forall _{x} ||x_{a} - x || < \delta \Rightarrow || f(x_{a}) - f(x) || < \epsilon$

3) $f$ jest ciągłe w 0

$x_{n} \rightarrow 0 \Rightarrow f(x_{n}) \rightarrow 0$

czyli można to zapisać w ten sposób:

$\forall _{\epsilon > 0 } \exists _{\delta > 0 } : \forall _{x} ||x|| < \delta \Rightarrow ||f(x)|| < \epsilon$

4) $f$ jest ograniczone w kuli o promieniu $r$

$||f(x)|| \leqslant c \forall _{x} ||x|| \leqslant r$

czyli jeżeli biorę $x: ||x|| \leqslant r \Longleftrightarrow |x| \leqslant r \Longleftrightarrow |x - 0 | \leqslant r$

to znajdę taką stałą $c > 0$ że będzie zachodzić : $||f(x)|| \leqslant c \Longleftrightarrow |f(x)-0| \leqslant c$

5) $\exists _{c > 0} : \forall _{x} ||f(x)|| \leqslant c||x||$

czyli jak wezmę sobie odpowiednią stałą $c$ (bo warunkiem jest, że takie $c$ istnieje), to dla każdego $x$ będzie zachodziło $||f(x)|| \leqslant c||x||$ $x - y$ się zmieniają na przestrzeni całego zbioru x-ów, ale $c$ jest dla każdego $x - a$ takie samo.

[edytuj] Definicja

Niech $(X,τ X)$ i $(Y,τ Y)$ będą przestrzeniami topologicznymi oraz niech $f:X \to Y$ . Mówimy, że $f$ jest funkcją ciągłą wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz dowolnego zbioru otwartego w $Y$ jest zbiorem otwartym w $X$ , co można zapisać następująco:

$\forall_{U\in \tau_Y}\; f^{-1}(U)\in\tau_X$ .

[edytuj] Własności i przykłady

Niech $(X,τ X)$ i $(Y,τ Y)$ będą przestrzeniami topologicznymi oraz niech $f:X \to Y$ .

Następujące warunki są równoważne:
- $f$ jest ciągła,
- dla pewnej bazy ${\mathcal B}$ topologii na $Y$ , przeciwobrazy wszystkich zbiorów z ${\mathcal B}$ są otwarte w $X$ (tzn. $\forall_{U\in \mathcal B}\; f^{-1}(U)\in \tau_X$ ),
- przeciwobraz każdego domkniętego podzbioru $Y$ jest domknięty w $X$ ,
- dla każdego zbioru $A\subseteq X$ mamy $f(\mbox{cl }A)\subseteq \mbox{cl }f(A)$ (gdzie $cl Z$ oznacza operację domknięcia w odpowiedniej przestrzeni),
- dla każdego zbioru $B\subseteq Y$ mamy $\mbox{cl }f^{-1}(B)\subseteq f^{-1}(\mbox{cl }B)$ (gdzie $cl$ jest domknięciem w odpowiedniej przestrzeni),
- $f$ jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny $X$ .
Jeśli $D$ jest gęstym podzbiorem $X$ , $f,g: X \to Y$ są funkcjami ciągłymi oraz $f | D = g | D$ , to $f = g$ .
Jeśli przestrzeń $X$ jest zwarta i $f: X \to Y$ jest funkcją ciągłą, to również $f (X)$ jest zwarta. Podobnie, ciągły obraz przestrzeni spójnej jest spójny i ciągły obraz przestrzeni ośrodkowej jest ośrodkowy.
Jeśli $X=\prod\limits_{i\in I}X_i$ jest produktem Tichonowa przestrzeni topologicznych, $j\in I$ oraz

$\pi_j:X \to X_j: \bar{x}=\langle x_i:i\in I\rangle\mapsto x_j$

jest rzutem na $j$ -tą wspołrzędną, to $π j$ jest odwzorowaniem ciągłym.

[edytuj] Przestrzeń funkcji ciągłych

W topologii i analizie funkcjonalnej często bada się przestrzenie, których elementami są funkcje ciągłe z pewnej przestrzeni topologicznej w inną. Takie przestrzenie są szczególnymi przypadkami przestrzeni funkcyjnych, a ich najbardziej popularne przykłady to przestrzenie funkcji ciągłych o wartościach w liczbach rzeczywistych.

Pierścień ${\mathcal C}(X)$ , którego elementami są odwzorowania ciągłe z przestrzeni $X$ w zbiór liczb rzeczywistych ${\mathbb R}$ , a operacje algebraiczne są wprowadzane "punktowo", jest ważnym obiektem topologicznym. Przeprowadzono wiele badań w poszukiwaniu związków struktury algebraicznej tego pierścienia ze strukturą topologiczną przestrzeni $(X,τ X)$ . Ponadto na przestrzeni ${\mathcal C}(X)$ rozważa się także strukturę topologiczną wprowadzając:

topologię zbieżności punktowej, zgadzającą się z topologią Tichonowa na produkcie $\prod\limits_{x\in X} {\mathbb R}$ lub
topologię zbieżności jednostajnej w której bazą otoczeń punktu $f\in \mathcal{C}(X)$ jest $\{U_i(f):i=1,2,3,\ldots\}$ , gdzie $U_i(f)=\left\{g \in \mathcal{C}(X):\forall_{x\in X}\; |f(x)-g(x)|<{1 \over i}\right\}$ .