Funkcja analityczna

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Spis treści

1 Definicja
- 1.1 Pochodna funkcji zmiennej zespolonej
- 1.2 Uwagi
2 Przykłady
3 Własności
4 Bibliografia
5 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Funkcję zmiennej zespolonej, określoną w pewnym obszarze $D$ nazywamy funkcją analityczną w tym obszarze, jeżeli w każdym punkcie tego obszaru ma pochodną. Mówimy, że funkcja jest analityczna w punkcie $z 0$ jeżeli jest analityczna w pewnym otoczeniu tego punktu.^[1]

[edytuj] Pochodna funkcji zmiennej zespolonej

Pochodną funkcji zmiennej zespolonej w punkcie $z_0\in D\subset \mathbb{C}$ definiuje się tak samo, jak pochodną funkcji zmiennej rzeczywistej. Jeśli istnieje granica

$\lim_{\Delta z \to 0}\frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z}=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0},$

to oznaczamy ją symbolem $f'(z_0)\,$ i nazywamy pochodną funkcji f w punkcie $z 0$ .

[edytuj] Uwagi

Fakt, że zmienna jest zespolona, pociąga, w przeciwieństwie do funkcji zmiennej rzeczywistej, bardzo daleko idące konsekwencje. Okazuje się mianowicie, że istnienie pochodnej pierwszego rzędu w każdym punkcie dziedziny pociąga za sobą istnienie pochodnych dowolnego rzędu – nietrudno natomiast o przykład funkcji zmiennej rzeczywistej, która ma pochodną w zadanym punkcie, ale nie ma w nim drugiej pochodnej.

Każdą funkcję analityczną można rozwinąć w szereg potęgowy w pewnym otoczeniu dowolnego punktu jej dziedziny.

Funkcja $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\,$ jest analityczna (regularna), jeżeli posiada pochodną w pewnym otoczeniu punktu $z 0$ . Funkcja $f (z)$ jest holomorficzna w obszarze, jeśli jest holomorficzna w każdym punkcie tego obszaru. Funkcja analityczna na całej płaszczyźnie zespolonej jest nazywana funkcją całkowitą. Jeżeli funkcja nie jest w badanym obszarze (lub krzywej) analityczna to mówimy, że jest ona tam osobliwa

[edytuj] Przykłady

Funkcja stała jest funkcją analityczną.
Wielomiany są funkcjami analitycznymi na całej płaszczyźnie.
Funkcje wymierne są funkcjami analitycznymi we wszystkich obszarach, w których są określone (poza miejscami zerowymi mianownika).
Każdy szereg potęgowy o promieniu zbieżności $r > 0$ jest funkcją analityczną w kole $| z | < r$ .
Funkcje zmiennej zespolonej: $sin z,cos z, e z$ są funkcjami analitycznmi.

[edytuj] Własności

Suma, iloczyn i iloraz (tam gdzie określony) funkcji analitycznych są funkcjami analitycznmi.
Funkcja analityczna funkcji analitycznej (tzn. złożenie funkcji analitycznych) jest również funkcją analityczną.