Liczby zespolone

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Liczby zespolone – uporządkowane pary liczb rzeczywistych z określonymi na nich działaniami dodawania i mnożenia odpowiednio:

dodawanie: $(a, b) + (c, d)=(a + c, b + d),\$
mnożenie: $(a, b)\cdot(c, d)=(ac - bd, ad + bc),\$

gdzie $a, b, c, d \in \mathbb R$ .

Liczby zespolone można rozumieć jako pewne rozszerzenie zbioru liczb rzeczywistych. Można dowieść, że zbiór $(\mathbb R^2, +, \cdot)$ z tak określonymi działaniami tworzy ciało. Oznacza się je zwykle symbolem $\mathbb C$ (od ang. complex – złożony). Powyższe działania są więc przemienne oraz łączne, co wynika z przemienności i łączności odpowiednich działań w ciele liczb rzeczywistych .

Ciało liczb zespolonych jest ciałem algebraicznie domkniętym. Ponadto jest ono najmniejszym ciałem algebraicznie domkniętym zawierającym liczby rzeczywiste. Mówimy, że ciało liczb zespolonych jest domknięciem algebraicznym ciała liczb rzeczywistych.

Spis treści

1 Historia
2 Postać algebraiczna
- 2.1 Zapis alternatywny
3 Operacje na liczbach zespolonych
4 Postać trygonometryczna
5 Wzór de Moivre'a
6 Postać wykładnicza
7 Sprzężenie
8 Relacja równoważności
9 Relacja porządku
10 Przykłady
11 Zastosowanie liczb zespolonych
12 Zobacz też
13 Linki zewnętrzne

[edytuj] Historia

Liczby zespolone zostały wprowadzone do matematyki przez Girolama Cardana. Nadał on w szczególności liczbie $i$ nazwę jednostki urojonej, nie wierząc w rzeczywiste istnienie takiego obiektu, a jedynie uznając go za pomocniczy element w rachunku, mającym w zamierzeniu dać pierwiastki równania wielomianowego trzeciego stopnia (tzw. wzory Cardano). Liczbami zespolonymi zajmowali się wielcy matematycy tacy jak Hamilton, czy Euler (por. wzór Eulera). Jest to ciekawy przykład pojęcia o fundamentalnym znaczeniu dla techniki (m.in. elektrotechniki), które znalazło swoje główne zastosowanie po kilkuset latach od wynalezienia.

Formalne określenie zbioru liczb zespolonych jako zbioru ${\mathbb R}^2$ pochodzi od Hamiltona.

[edytuj] Postać algebraiczna

Postać pary $(a, b)$ nie jest najwygodniejsza w użyciu (przede wszystkim z powodu nawiasów). Liczbę $(a,0)$ utożsamiać będziemy z liczbą rzeczywistą $a$ , z kolei $(0, b)$ nie ma swojego odpowiednika w liczbach rzeczywistych.

Jednakże $(0, b) = b \cdot (0, 1)$ , a więc $(a, b) = (a, 0) + b \cdot (0,1)$ . Wprowadzenie oznaczenia na liczbę $(0,1)$ pozwoliłoby na korzystanie z dogodniejszej postaci $a + b (0,1)$ . Takie oznaczenie na liczbę $(0,1)$ już istnieje – jest nim $i$ i nazywane jest często jednostką urojoną. Zapis liczby zespolonej wygląda wtedy następująco: $a + b i$ .

Formalnie rzecz ujmując utożsamiamy $\mathbb C\ni (a, b) \equiv a + bi$ . Zauważmy, iż $(0, 1)^2 = (0, 1) \cdot (0, 1) = (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1, 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0) = (-1, 0)$ , a więc $i^2=-1.\$ Pochodzący z tej nierówności spotykany czasami zapis $i=\sqrt{-1}$ jest uważany obecnie za niepoprawny.

Dla liczb zespolonych postaci $z = a + b i$ mamy:

$\Re (z) = \mathbf{Re}(z) = a$ nazywane częścią rzeczywistą,
$\Im (z)= \mathbf{Im}(z) = b$ nazywane częścią urojoną.

[edytuj] Zapis alternatywny

W zastosowaniach fizycznych, elektrycznych, elektrotechnicznych itp. zapis $z = a + b i$ może okazać się mylące z powodu wykorzystywania w tych działach litery $i$ do innych celów, np. chwilowego natężenia prądu elektrycznego. Dlatego też stosuje się zapis niepowodujący podobnych kłopotów, mianowicie $z = a + j b$ , w którym to $j$ jest jednostką urojoną.

[edytuj] Operacje na liczbach zespolonych

Najwygodniejszą postacią do przeprowadzania działań dodawania i mnożenia jest postać algebraiczna. Wtedy wykonuje się je tak samo jak odpowiednie operacje na wyrażeniach algebraicznych, należy tylko pamiętać o własności $i 2 = - 1$ :

$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,\$
$(a + bi)(c + di) = ac + (bc + ad)i + bd i^2 = (ac - bd) + (bc + ad)i.\$

Warto pamiętać wzór na dzielenie, wywodzący się wprost z powyższej operacji mnożenia:

${a + bi \over c + di} = {(ac + bd) + (bc - ad)i \over c^2 + d^2}$

[edytuj] Postać trygonometryczna

Ponieważ liczby zespolone to pary uporządkowane, możemy je utożsamiać z wektorami płaszczyzny, podobnie jak utożsamiamy prostą z liczbami rzeczywistymi. Interpretacja ta, dla której w specjalny sposób określono mnożenie, znana była już pod koniec XVIII wieku, choć ostatecznie jej autorstwo przypisuje się Argandowi.

[edytuj] Moduł

Zobacz więcej w osobnym artykule: moduł liczby zespolonej.

Zauważmy, iż długość wektora $\vec z = [a, b]$ jest równa z twierdzenia Pitagorasa $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Dla liczby $z = a + b i$ definiujmy moduł liczby zespolonej jako $|z| = \sqrt{a^2 + b^2} \ge 0$ . Moduł liczby zespolonej ma analogiczne własności do wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej.

[edytuj] Argument

Zobacz więcej w osobnym artykule: argument liczby zespolonej.

Niech $φ$ oznacza kąt, który wektor $\vec z$ tworzy z prostą $O X$ , oznaczmy go przez $\arg (z)$ . Jest to tzw. argument liczby zespolonej. Widać, iż $\sin \phi = \frac{b}{|z|}$ i $\cos \phi = \frac{a}{|z|}$ . Oczywiście liczba zespolona różna od zera ma nieskończenie wiele argumentów, choć tylko jeden moduł. W celu ujednoznaczenia tegoż wprowadza się tzw. argument główny (wartość główną argumentu) oznaczany przez $Arg(z)$ . Jest to argument liczby $z$ spełniający równość $0\leq\arg(z)<2\pi$ (czasami też równoważnie $-\pi<\arg(z)\leq\pi$ ).

Gdy $|z| = 0 \Leftrightarrow z = 0$ , argument jest nieokreślony. Dla liczb rzeczywistych argument główny jest równy zeru dla liczb dodatnich oraz $π$ dla ujemnych.

[edytuj] Wzór

Tak więc ostatecznie liczba zespolona w tej interpretacji to iloczyn długości wektora (modułu liczby zespolonej) przez kąt skierowany tego wektora (argument liczby zespolonej):

$z = a + bi = |z|\frac{a}{|z|} + |z|\frac{b}{|z|}i = |z|(\cos \phi + i\sin \phi)$

Trywialny jest również fakt, iż mnożenie przez $i$ można zinterpretować jako obrót płaszczyzny o kąt 90° w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara.

Podstawiejąc powyższy wzór do definicji mnożenia dla

x = a + b i = | x | (cosα + i sinα)

y = c + d i = | y | (cosβ + i sinβ)

otrzymujemy

$x \cdot y = (|x| \cos \alpha \cdot |y| \cos \beta - |x| \sin \alpha \cdot |y| \sin \beta) + (|x| \sin \alpha \cdot |y| \cos \beta + |x| \cos \alpha |y| \sin \beta)i$

Stosując odpowiednie tożsamości trygonometryczne otrzymujemy, że

$x \cdot y=|x| \cdot |y|(\cos (\alpha + \beta)+ \sin (\alpha + \beta)i)$

zatem moduł iloczynu jest równy iloczynowi modułów, zaś argument iloczynu jest równy sumie argumentów mnożonych liczb.

[edytuj] Wzór de Moivre'a

Zobacz więcej w osobnym artykule: wzór de Moivre'a.

Mnożenie liczb zespolonych jest dość proste, jednak potęgowanie postaci algebraicznej może sprawiać problemy przy wyższych potęgach. To działanie łatwiej przeprowadzić w postaci trygonometrycznej:

Rozpatrzmy $z = | z | (cosφ + i sinφ)$ . Na podstawie reguły indukcji matematycznej zachodzi wzór

$z^n=|z|^n(\cos \phi + i\sin \phi)^n = |z|^n(\cos(n\phi) + i\sin(n\phi))\$ .

Służy on również do obliczania $n$ -tej potęgi funkcji $sin$ i $cos$ – należy obliczyć $z n$ dla $| z | = 1$ .

Z kolei pierwiastkowanie postaci algebraicznej jest niemożliwe — na podstawie wzoru de Moivre'a, który jest również prawdziwy dla liczb niewymiernych, możemy wykonać pierwiastkowanie jako potęgowanie liczby $1 \over n$ . Ponieważ każdy wielomian ma liczbę pierwiastków równą jego stopniowi, to każda liczba zespolona posiada $k$ pierwiastków:

$W_k=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\left({{\psi+2k\pi} \over n} \right) + i \sin \left({\psi+2k\pi \over n}\right)\right)$ , gdzie $(k = 0,1,..., n - 1)$ .

[edytuj] Postać wykładnicza

Rozpatrzmy liczbę $z = | z | (cosφ + i sinφ)$ spróbujmy wyrazić funkcje $sin$ i $cos$ za pomocą funkcji wykładniczej (por. definicja analityczna funkcji trygonometrycznych):

$\sin \psi = {e^{i\psi} - e^{-i\psi} \over 2i}$

$\cos \psi = {e^{i\psi} + e^{-i\psi} \over 2}$

Mamy $\cos \psi + i\sin \psi = {e^{ i \psi} + e^{-i \psi} \over 2} + i{e^{i \psi} - e^{-i \psi} \over 2i } = {{e^{i \psi} + e^{-i \psi} + e^{i \psi} - e^{-i \psi}} \over 2} = e^{i \psi}$ .

Zatem ostatecznie $z = |z|( \cos \phi + i\sin \phi ) = |z|{e^{i\phi}}\,$ .

[edytuj] Sprzężenie

Zobacz więcej w osobnym artykule: Liczba sprzężona.

Niech $z = a + b i = | z | (cosφ + i sinφ) = | z | e i φ$ . Przyjrzyjmy się jeszcze bardzo ważnej operacji jaką jest sprzężenie liczby zespolonej. Jeżeli liczba jest w postaci algebraicznej to przeprowadzenie tego działania jest trywialne:

$\overline z = a - bi$

Jest oczywiste, że powoduje to odbicie izomorficznego wektora na płaszczyźnie względem osi OX, zatem postać trygonometryczna zachowa moduł, lecz zmieni argument – dokładnie o $2π - φ$ czy, równoważnie, argument zmieni znak na przeciwny. Skoro postać wykładnicza również zależy od modułu i argumentu ten sam fakt ma zastosowanie w tej postaci.

Sprzężenie przeprowadza izomorficznie liczby zespolone w siebie, czyli jest automorfizmem. Dodatkowo działanie to jest inwolucją: $\overline{(\overline z)} = z$ .

[edytuj] Relacja równoważności

Rozważmy dwie liczby zespolone $v = a + b i$ i $w = c + d i$ . Łatwo możemy stwierdzić, czy są one sobie równe, czy też nie:

ich moduły i argumenty są równe, czyli

$|v| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{c^2 + d^2} = |w|$ oraz

$\operatorname{Arg}(v) = \operatorname{Arg}(w) \iff \arctan{b \over a} = \arctan{d \over c}$ ,
ich części rzeczywiste oraz urojone są równe, czyli $a = c$ oraz $b = d$ .

[edytuj] Relacja porządku

Choć można by umówić się na jakiś porządek liczb zespolonych (np. porządek leksykograficzny), to jednak taka relacja nie została określona i szerzej przyjęta. Tak więc nie da się określić, która z dwóch liczb jest większa lub mniejsza. Można natomiast porównywać ich moduły oraz argumenty (główne), gdyż zarówno moduł jak i argument liczby zespolonej są liczbami rzeczywistymi.

[edytuj] Przykłady

Najczęściej stosowanymi postaciami liczb zespolonych są:

algebraiczna: $z=\mbox{Re} z+i \mbox{Im} z\$
trygonometryczna: $z=|z|(\cos \arg z+i \sin \arg z)$
wykładnicza (biegunowa): $z=|z|e^{i \arg z}$

Przedstawmy liczbę $u = (1, \sqrt{3})$ w tych postaciach i obliczmy jej sprzężenie:

$u = 1+i\sqrt 3, \bar u = 1-i\sqrt 3$ (postać algebraiczna)

$|u| = |1+i\sqrt 3| = \sqrt{1+3} = \sqrt 4 = 2,$

$\cos \arg u = \cos\arg(1 + i\sqrt 3) = {1 \over 2}, \sin\arg u = \sin\arg(1 + i\sqrt 3) = {\sqrt 3 \over 2},$

$\arg u = \arg(1 + i\sqrt 3) = {\pi \over 3},$

$u = 2(\cos{\pi \over 3}+i \sin{\pi \over 3}), \bar u = 2(\cos{5\pi \over 3}+i \sin{5\pi \over 3})$ (postać trygonometryczna)
$u = 2e^{{\pi \over 3}i}, \bar u = 2e^{{5\pi \over 3}i}$ (postać wykładnicza)

[edytuj] Zastosowanie liczb zespolonych

Liczby zespolone są dość wygodnym sposobem zapisu punktów płaszczyzny, choć ostatnimi czasy istnieje trend, aby liczby zespolone, kwaterniony, czy oktawy Cayleya zastępować odpowiednio wektorami przestrzeni $\mathbb R^2, \mathbb R^4, \mathbb R^8$ z odpowiednimi działaniami, z powodu ich względnie łatwego uogólniania na inne potęgi. Jednak użycie liczb zespolonych jest dalekie od zarzucenia: analizą euklidesowej przestrzeni dwuwymiarowej zajmuje się w ogólności tzw. analiza wielowymiarowa, zaś analizą przestrzeni zespolonej analiza zespolona.

Liczby zespolone znajdują zastosowanie m.in. w:

wyznaczaniu pierwiastków równania kwadratowych, którego wyróżnik jest mniejszy od zera,
teorii fraktali,
analizie obwodów elektrycznych prądu przemiennego.

Liczby zespolone można rozumieć jako szczególny przypadek:

W zbiorze liczb zespolonych możemy wyróżnić podzbiory izomorficzne ze zbiorami:

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Linki zewnętrzne

Zbiór ćwiczeń z rozwiązaniami + teoria

Źródło: "http://pl.wikipedia.org../../../l/i/c/Liczby_zespolone.html"

Kategorie: Analiza zespolona • Liczby

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.