Funkcja jednostajnie ciągła
Z Wikipedii
Jednostajna ciągłość jest własnością pewnej klasy funkcji, określonych między przestrzeniami metrycznymi.
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Niech 
będą przestrzeniami metrycznymi. Mówimy, że 
jest jednostajnie ciągła wtedy i tylko, gdy
![\left[ \varrho(x,y) < \delta \Rightarrow \sigma(f(x),f(y))<\varepsilon \right]](../../../math/2/6/d/26d5ddfe867524645f6f32e467f421f4.png)
[edytuj] Wnioski i twierdzenia dotyczące funkcji jednostajnie ciągłych
- Każda funkcja jednostajnie ciągła jest ciągła.
- Jeśli
jest ciągiem Cauchy'ego elementów X oraz f jest jednostajnie ciągła, to ciąg 
jest również ciągiem Cauchy'ego. - Jeśli funkcja spełnia warunek Lipschitza, to jest jednostajnie ciągła.
- Twierdzenie Heinego–Cantora: Każda funkcja ciągła na przestrzeni zwartej jest jednostajnie ciągła.
- W szczególności, każda funkcja określona i ciągła na przedziale domkniętym [a,b] jest jednostajnie ciągła - na przedziale otwartym już tak nie musi być, na przykład funkcja
na przedziale 
jest ciągła, ale nie jest jednostajnie ciągła.
[edytuj] Uogólnienie na przestrzenie liniowo-topologiczne
Niech U,V będą przestrzeniami liniowo-topologicznymi. Mówimy, że odzworowanie 
jest jednostajnie ciągłe, jeśli dla każdego otoczenia B zera przestrzeni V istnieje otoczenie A zera przestrzeni U takie, że
