Funkcja ograniczona
Z Wikipedii
Funkcja ograniczona – funkcja, której wszystkie wartości należą do pewnego przedziału ograniczonego.
Funkcją nieograniczoną nazywa się funkcję, która nie jest ograniczona. Równoważnie: jest to funkcja, której zbiór wartości nie zawiera się w żadnym przedziale.
Spis treści |
[edytuj] Ograniczoność z góry i z dołu
Funkcję nazwiemy ograniczoną z góry, jeżeli wszystkie jej wartości są mniejsze od pewnej ustalonej liczby. Podobnie funkcja jest ograniczona z dołu, jeżeli wszystkie jej wartości są większe od pewnej ustalonej liczby. Zatem funkcja jest ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednocześnie ograniczona z góry i z dołu.
[edytuj] Ciągi ograniczone
Ponieważ każdy ciąg jest funkcją, zatem pojęcie ograniczoności funkcji przenosi się w naturalny sposób na ciągi. Wyłącznie ciągi ograniczone może mieć skończone granice.
[edytuj] Topologia
Funkcję, której przeciwdziedziną jest przestrzeń metryczna nazywamy ograniczoną, gdy wszystkie jej wartości zawierają się w pewnej kuli. Analogicznie funkcję nazywamy nieograniczoną, gdy jej zbioru wartości nie da się zamknąć w żadnej kuli.
[edytuj] Przykłady
- funkcje sinus i cosinus są ograniczone – wszystkie ich wartości należą do przedziału [ − 1,1].
- funkcje
(ogólnie wszystkie wielomiany stopnia niezerowego) są nieograniczone. - ciąg
jest ograniczony, gdyż wszystkie jego wyrazy należą do przedziału (0,1]. - ciąg
choć ograniczony z dołu, nie jest ograniczony z góry, zatem jest nieograniczony. - ciąg
nie jest ograniczony z dołu, natomiast posiada ograniczonie górne.
