Hipoteza Suslina

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

W teorii mnogości, hipoteza Suslina to zdanie postulujące nieistnienie pewnego obiektu (tak zwanego drzewa Suslina). Zdanie to jest niezależne od standardowych aksjomatów teorii mnogości, tzn zdania tego nie można udowodnić na gruncie tych aksjomatów ani nie można go obalić. Jest ono oznaczane przez SH (od angielskiego zwrotu the Suslin Hypothesis). Czasami SH, a czasami ¬SH jest użyteczną pomocą w dowodzie i w pewnych przypadkach zdania te są traktowane przez matematyków jako możliwe dodatkowe aksjomaty (oczywiście, zakłada się tylko jeden z nich).

[edytuj] Motywacja i historia

Prostą rzeczywistą ${\mathbb R}$ można następująco scharakteryzować w terminach porządku $\leq$ .

Każdy porządek liniowy $(P,\sqsubseteq)$ w którym

(a) nie ma ani elementu największego ani elementu najmniejszego oraz

(b) topologia porządkowa (generowana przez przedziały otwarte) jest spójna i ośrodkowa

jest izomorficzny z $({\mathbb R},\leq)$ .

W 1920, rosyjski matematyk Michał Jakowlewicz Suslin sformułował problem, czy w powyższej charakteryzacji można zastąpić ośrodkowość topologii porządkowej przez słabsze założenie warunku przeliczalnych antyłańcuchów (tzw ccc)^[1]. Przypomnijmy że przestrzeń topologiczna spełnia ccc jeśli każda rodzina parami rozłącznych otwartych podzbiorów tej przestrzeni jest przeliczalna. Dla topologii wyznaczonej przez porządek liniowy, ccc jest równoważne stwierdzeniu, że każda rodzina rozłącznych przedziałów otwartych jest przeliczalna.

Jedną z równoważnych postaci SH jest stwierdzenie, że pytanie Suslina ma pozytywną odpowiedź i każdy porządek liniowy $(P,\sqsubseteq)$ w którym

(a) nie ma ani elementu największego ani elementu najmniejszego, oraz

(b)' topologia porządkowa jest spójna i spełnia ccc

jest izomorficzny z $({\mathbb R},\leq)$ .

Pytanie Suslina było bardzo naturalne, więc wielu matematyków poświęciło temu zagadnieniu swoje prace.

W latach 30. XX wieku, jugosłowiański matematyk Kurepa wykazał, że negacja SH jest równoważna istnieniu pewnych dziwnych obiektów związanych z pierwszą nieprzeliczalną liczbą porządkową $ω 1$ ^[2]. Współcześnie hipotezę Suslina formułujemy właśnie w języku drzew zaproponowanym przez Kurepę.

Na początku lat 60. XX wieku czeski matematyk Jech^[3] i niezależnie amerykański matematyk Tennenbaum^[4] wykazali, że hipotezy Suslina nie można udowodnić.

Około roku 1965 amerykańscy matematycy Solovay i Tennenbaum rozwinęli metodę forsingu, wprowadzając forsing iterowany i wykazali niezależność hipotezy Suslina od aksjomatów ZFC^[5].

Jensen udowodnił, że aksjomat konstruowalności implikuje ¬SH (a nawet diament Jensena $\diamondsuit$ do tego wystarczy)^[6].

[edytuj] Definicje

Prosta Suslina to porządek liniowy $(P,\sqsubseteq)$ w którym

(i) nie ma ani elementu największego ani elementu najmniejszego, oraz

(ii) topologia porządkowa jest spójna i spełnia ccc, ale

(iii) nie jest ośrodkowa.

Drzewo to porządek częściowy $(T,\sqsubseteq)$ taki że dla każdego $t\in T$ zbiór $\{s\in T:s\sqsubset t\}$ jest dobrze uporządkowany (przez relację $\sqsubseteq$ ).
Drzewo Suslina to drzewo $(T,\sqsubseteq)$ w którym $|T|=\aleph_1$ ale wszystkie łańcuchy oraz wszystkie antyłańcuchy są przeliczalne.
Hipoteza Souslina (SH) to zdanie stwierdzające, że

nie istnieje żadne drzewo Suslina

[edytuj] Własności

Prosta Suslina istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje drzewo Suslina.
Jeśli $(P,\sqsubseteq)$ jest prostą Suslina (rozważaną z topologią porządkową), to produkt $P\times P$ nie spełnia ccc.
Jeśli $\diamondsuit$ jest prawdziwy, to istnieje drzewo Suslina czyli ¬SH jest prawdziwe.
Jeśli MA+¬CH jest spełnione, to nie ma drzew Suslina i SH jest prawdziwe.

[edytuj] Bibliografia

↑ Michał Jakowlewicz Suslin. Probléme 3. Fundamenta Mathematicae 1(1920), 223.
↑ Kurepa, Djuro. L'hypothèse de ramification. C. R. Acad. Sci., Paris 202, 185-187 (1936).
↑ Jech, Tomás. Non-provability of Souslin's hypothesis. Comment. Math. Univ. Carolinae 8 (1967) 291-305.
↑ Tennenbaum, S. Souslin's problem. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 59 1968 60--63
↑ Solovay, R. M.; Tennenbaum, S. Iterated Cohen extensions and Souslin's problem. Ann. of Math. (2) 94 (1971), 201-245.
↑ Devlin, Keith J.; Johnsbråten, Håvard. The Souslin problem. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 405. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1974. viii+132 pp.