Dyskusja:Indukcja matematyczna

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

"Zasadę indukcji matematycznej na zbiorze liczb naturalnych można sformułować następująco:

jeśli 0 ma pewną własność
oraz dla dowolnego n z tego, że wszystkie liczby mniejsze lub równe n mają tę własność, wynika, że własność tę ma również n + 1,

to wszystkie liczby naturalne mają tę własność."

Może mnie źle uczyli, ale to nie jest czasem tak, że najpierw sprawdza się dla najmniejszej, a potem dla dowolnej (np n) i kolejnej po dowolnej (n+1)? A tu ktoś wręcz odwrotnie pisze, tylko nie wiem jak to potem chcecie udowadniać, będziecie sprawdzać prawdziwość dla "wszystkich mniejszych lub równych n"? Bo ja nie rozumiem... --83.22.94.121 17:56, 3 sty 2006 (CET)

[edytuj] uwagi do mojej edycji

Przydałby się obrazek szeregu kostek domina. Może ktoś mógłby coś takiego narysować????
Zlikwidowalem odnosniki do indukcji po porządkach dobrze ufundowanych bo wydaje mi się że tutaj może być to mylące. Poza tym każda taka indukcja jest indukcja po randze czyli indukcją pozaskończoną.
Możeby rozbudować hasło dowód indukcyjny dając tam wiecej dowodów ale też i przykłady definicji indukcyjnych????

Best, Stotr 20:54, 6 lip 2006 (CEST)

[edytuj] Pytanie użytkownika 212.2.100.181

Jak to jest, odnosnie tego:

"Często używaną ilustracją dla tego typu argumentacji jest efekt domina. Wyobraźmy sobie że ustawiliśmy szereg kamieni używanych do gry w domino tak że stoją one jeden za drugim na krótszym boku. Przypuścmy, że przed opuszczeniem pomieszczenia z tymi kamieniami upewniliśmy się, że przewrócenie któregokolwiek z nich powoduje upadek następnego. Jakiś czas po wyjściu z pokoju dostajemy informację że ktoś przewrócił pierwszy kamień. Możemy wtedy natychmiast stwierdzić, że wszystkie kamienie się przewróciły."

trzeba zalozyc, ze poczatek == koniec, w innym przypadku poczatek bedzie nienaruszony, jesli przewroci sie tylko klocek n>1 (zakladajac przewrocenie "w przod").

Odp: W tekscie (zacytowanym powyżej) jest napisane że ktoś przewrócił pierwszy kamień. Zatem nie ma problemu - proces przewracania zaczyna się właśnie od kamienia numer n=1. Stotr 18:17, 6 wrz 2006 (CEST)

w wersji angielskiej jest ladny

[edytuj] Glupoty

Prosze wybaczyc ale nic takiego jak Twierdenie o indukcji nie istnieje. Indukcja jest jednym z AKSJOMATOW i tzreba zalozyc jej prawdziwosc. Nie ma zadnego twioerdenia o indukcji, jesli zas autorzy twierdza ze jest, uprzejmie prosze o przytoczenie dowodu, lub zrodla dowodu.

[edytuj] Proszę bardzo

Dowód zadady indukcji znajdziesz w książce A.I. Kostrikin 'Wstęp do algebry' Tom 1. (nie przytoczę teraz bo mi się nie chce, jak jesteś naprawdę zainteresowany to sam/a znajdziesz ;)) Pokrótce, da się to wyprowadzić z aksjomatów dla liczb naturalnych które podał Peano.

Ja mam inne wątpliwości. Czy ktoś jest mi w stanie wytłumaczyć zapis formalny w podpunkcie: Twierdzenie o definiowaniu indukcyjnym?

Jestem przekonany, że tam jest błąd (ale nie jestem pewien jak powinno być dobrze, więc nie poprawię).

--Albi 01:20, 24 lut 2007 (CET)

Też tego nie rozumiem. Ten fragment dodał Stotr opisując: "drobna rozbudowa w oparciu o to co pamietam z przedszkola; patrz uwagi w dyskusji", ale chyba chodziliśmy do innego przedszkola ;-) Na razie na wszelki wypadek zakomentowuję do wyjaśnienia. Olaf D 17:55, 25 lut 2007 (CET)

A ja chyba zrozumiałem:)

Te ciągi skończone obrazują zbiór początkowych wartości funkcji. Dajmy na ciąg Fibonacciego: możemy wziąść ciąg (1,1,2,3,5,8,13,21) pierwszych paru wartości. Niech f będzie funkcją, której wartość dla każdego ciągu

(a 1, a 2,..., a n - 1, a n)

wynosi

a n - 1 + a n

, dla ciągu pustego i ciągu długości 1 niech wartość f wynosi 1. Wówczas funkcja g której istnienie zapewnia to twierdzenie to nic innego niż funkcja, której wartość dla danego n wynosi

F n

. To co jest argumentem funkcji f po prawej stronie:

$g(n)=f\left(g|_\left\{m\in \mathbb N:m<n\right\}\right)$

oznacza ciąg (g(1),g(2),...,g(n-1)).

Intuicyjnie i nieściśle: jeżeli wiemy, jak obliczyć wartość funkcji dla danego n znając jej wartości dla wszystkich $m \in \mathbb N$ że

m < n

i to obliczanie opisuje funkcja f, to istnieje funkcja g, której indukcyjny (~rekurencyjny) opis daje f. Wartość f dla ciągu pustego jest równa początkowej wartości funkcji. Zaczynam od 1, bo zakładam, że 0 nie jest naturalne, tak samo można rozumować gdy przyjmujemy 0 za naturalne.

Niemniej jednak proszę o weryfikację, nie znałem tego twierdzenia:) googl d 18:25, 25 lut 2007 (CET)

Ok, faktycznie to ma sens, chociaż IMHO wymaga trochę więcej opisu w artykule. Olaf @ 00:26, 26 lut 2007 (CET)

Świetnie już rozumiem sens tego pseudomatematycznego zapisu.

Czyli, jeśli znamy regułę, która na podstawie poprzednich wartości określa wartość obecną twierdzenie gwarantuje nam, że ciąg jest określony jednoznacznie.

To nie zmienia faktu, ze zapis formalny jest błędny. Znak '|' określa restrykcję funkcji czyli to co znajduje się pod f( ) jest funkcją zaweżoną do podzbioru $\{m\in \mathbb N:m<n\}$ . Ale f nie jest operatorem określonym na przestrzeni funkcyjnej. Czyż nie?