Metoda Gaussa

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Metoda (eliminacji) Gaussa – jedna z najszybszych metod rozwiązywania układów równań liniowych oraz obliczania rzędu macierzy. Metoda Gaussa używa operacji elementarnych. Nazwa metody pochodzi od nazwiska matematyka niemieckiego Carla Friedricha Gaussa.

Spis treści

1 Obliczanie rzędu macierzy
- 1.1 Przykład
2 Rozwiązywanie układów równań liniowych
- 2.1 Przykład
3 Obliczanie macierzy odwrotnej
- 3.1 Przykład

[edytuj] Obliczanie rzędu macierzy

Obliczając rząd macierzy metodą Gaussa należy, za pomocą operacji elementarnych (zarówno na wierszach, jak i kolumnach), sprowadzić macierz do macierzy schodkowej. Wtedy wszystkie niezerowe wiersze są liniowo niezależne i można łatwo odczytać rząd macierzy.

[edytuj] Przykład

$A=\begin{bmatrix} 4 & -2 & 2 \\ 5 & -4 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & -3 & -4 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -4\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 2 \\ 0 & -3 & 0 & -4 \\ 0 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -4\end{bmatrix}\sim\atop\sim\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 2 \\ 0 & -3 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -4\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 2 \\ 0 & -3 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$

Przykładową macierz A przez dokonanie operacji elementarnych (kolejno: odjęciu wielokrotności 1. wiersza od 2., 3. i 4. wiersza, zamienieniu 2. i 3. kolumny, dodaniu 2. wiersza do 3. wiersza, odjęciu 3. wiersza od 4. wiersza) sprowadzono do macierzy schodkowej, której rząd łatwo odczytać, bowiem rząd macierzy schodkowej jest równy liczbie jej "schodków", czyli liczbie wierszy pomniejszonej o liczbę wierszy zerowych. W tym przypadku rząd macierzy A równy jest 3.

[edytuj] Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązując układ m równań liniowych z n niewiadomymi należy, za pomocą operacji elementarnych wyłącznie na wierszach, sprowadzić macierz rozszerzoną układu równań liniowych do postaci schodkowej. Następnie należy rozstrzygnąć istnienie rozwiązań układu z pomocą twierdzenia Kroneckera-Capellego. Jeżeli układ nie jest sprzeczny, to rozwiązanie układu wyjściowego jest tożsame z rozwiązaniem układu reprezentowanego przez powstałą schodkową macierz rozszerzoną.

[edytuj] Przykład

Układ wyjściowy:

$\left\{\begin{matrix} x_1 & - & x_2 & + & 2x_3 & + & 2x_4 & = 0 \\ 2x_1 & - & 2x_2 & + & x_3 & & & = 1 \\ -x_1 & + & 2x_2 & + & x_3 & - & 2x_4 & = 1 \\ 2x_1 & - & x_2 & + & 4x_3 & & & = 2 \end{matrix}\right.$

Macierz rozszerzona tego układu:

$U=\left[\left.\begin{matrix} 1 & -1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 & -2 \\ 2 & -1 & 4 & 0 \end{matrix}\right|\begin{matrix}0\\1\\1\\2\end{matrix}\right]$

Sprowadzając do postaci schodkowej (za pomocą operacji kolejno: odjęcia wielokrotności 1. wiersza od 2., 3. i 4. wiersza, zamienienia 2. i 3. wiersza, odjęcia 2. wiersza od 4. wiersza, odjęciu 3. wiersza od 4. wiersza):

$U\sim\left[\left.\begin{matrix} 1 & -1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & -3 & -4 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -4 \end{matrix}\right|\begin{matrix}0\\1\\1\\2\end{matrix}\right]\sim\left[\left.\begin{matrix} 1 & -1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & -4 \\ 0 & 1 & 0 & -4 \end{matrix}\right|\begin{matrix}0\\1\\1\\2\end{matrix}\right]\sim\atop\sim\left[\left.\begin{matrix} 1 & -1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & -4 \\ 0 & 0 & -3 & -4 \end{matrix}\right|\begin{matrix}0\\1\\1\\1\end{matrix}\right]\sim\left[\left.\begin{matrix} 1 & -1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right|\begin{matrix}0\\1\\1\\0\end{matrix}\right]$

Rząd macierzy głównej $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej $\left[\left.\begin{matrix} 1 & -1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right|\begin{matrix}0\\1\\1\\0\end{matrix}\right]$ i jest równy 3.
Z twierdzenia Kroneckera-Capellego wynika, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od 1 parametru. Rozwiązując układ:

$\left\{\begin{matrix} x_1 & - & x_2 & + & 2x_3 & + & 2x_4 & = 0 \\ & & x_2 & + & 3x_3 & & & = 1 \\ & & & - & 3x_3 & - & 4x_4 & = 1 \\ & & & & & & 0 & = 0 \end{matrix}\right.$

Przyjmując parametr t za x₄ i rozwiązując układ od dołu:

$\begin{matrix}x_4=t\end{matrix}$
$\begin{matrix}x_3=-\frac{1}{3}\left(1+4x_4\right)=-\frac{4}{3}t-\frac{1}{3}\end{matrix}$
$\begin{matrix}x_2=1-3x_3=-1+3\left(-\frac{4}{3}t-\frac{1}{3}\right)=4t+2\end{matrix}$
$\begin{matrix}x_1=x_2-2x_3-2x_4=4t+2-2\left(-\frac{4}{3}t-\frac{1}{3}\right)-2t=\frac{14}{3}t+\frac{8}{3}\end{matrix}$

Zatem rozwiązaniem układu są czwórki: $\begin{matrix}\left(\frac{14}{3}t+\frac{8}{3},\ 4t+2,\ -\frac{4}{3}t-\frac{1}{3},\ t\right)\quad\textrm{gdzie}\quad t\in \mathbb{R}\end{matrix}$

[edytuj] Obliczanie macierzy odwrotnej

Aby obliczyć macierz odwrotną macierzy nieosobliwej o stopniu n należy, za pomocą operacji elementarnych wyłącznie na wierszach, sprowadzić macierz blokową $\left[\left.A\right|I\right]$ do postaci $\left[\left.I\right|B\right]$ . Powstała macierz B jest szukaną macierzą odwrotną do macierzy A. Symbolicznie można zapisać: $\left[\left.A\right|I\right]\sim\left[\left.I\right|A^{-1}\right]$

[edytuj] Przykład

Wyjściowa macierz:
$A=\begin{bmatrix}7 & 4 \\ 3 & 2\end{bmatrix}$
Jej wyznacznik jest równy 2, czyli macierz odwrotna istnieje. Macierz blokowa $\left[\left.A\right|I\right]$ ma postać:
$\left[\left.A\right|I\right]=\left[\left.\begin{matrix}7 & 4 \\ 3 & 2\end{matrix}\right|\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{matrix}\right]$
Wykonując operacje elementarne na wierszach (kolejno: odejmując wielokrotność 1. wiersza od 2. wiesza, mnożąc 2. wiersz przez 7/2 oraz dzieląc 1. wiersz przez 7, odejmując wielokrotność 2. wiersza od 1. wiersza) dostaje się postać $\left[\left.I\right|A^{-1}\right]$ :
$\left[\left.A\right|I\right]\sim \left[\left.\begin{matrix}7 & 4 \\ 0 & \frac{2}{7}\end{matrix}\right|\begin{matrix}1 & 0 \\ -\frac{3}{7} & 1\end{matrix}\right]\sim \left[\left.\begin{matrix}1 & \frac{4}{7} \\ 0 & 1\end{matrix}\right|\begin{matrix}\frac{1}{7} & 0 \\ -\frac{3}{2} & \frac{7}{2}\end{matrix}\right]\sim \left[\left.\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{matrix}\right|\begin{matrix}1 & -2 \\ -\frac{3}{2} & \frac{7}{2}\end{matrix}\right]$
Zatem macierzą odwrotną do macierzy $\begin{bmatrix}7 & 4 \\ 3 & 2\end{bmatrix}$ jest macierz: $\begin{bmatrix}1 & -2 \\ -\frac{3}{2} & \frac{7}{2}\end{bmatrix}$