Macierz odwrotna

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy
macierz jednostkowa
macierz zerowa
macierz elementarna
macierz schodkowa
macierz trójkątna
macierz symetryczna
macierz diagonalna
macierz idempotentna
macierz nilpotentna
macierz hermitowska
macierz unitarna
macierz ortogonalna
(!) macierz dopełnień algebraicznych
(!) macierz dołączona
więcej...

Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie
mnożenie macierzy
potęgowanie macierzy
odwracanie macierzy
diagonalizacja macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne

Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Macierz odwrotna do macierzy kwadratowej $A$ stopnia $n$ to macierz kwadratowa stopnia $n$ , oznaczana zwykle przez $A - 1$ , która spełnia równość:

$A \cdot A^{-1} = A^{-1}\cdot A = I_n$ ,

gdzie $I n$ jest macierzą jednostkową stopnia $n$ .

Każda macierz nieosobliwa $A$ , czyli macierz o wyznaczniku różnym od zera posiada macierz odwrotną. Dlatego taką macierz nazywa się również macierzą odwracalną (w przeciwnym wypadku macierzą nieodwracalną). Macierz osobliwa, czyli macierz dla której $det A = 0$ (w przeciwnym wypadku również macierz nieosobliwa), macierzy odwrotnej nie posiada, istnieje jednak jej tzw. uogólniona macierz odwrotna, czyli pseudoinwersja.

[edytuj] Wyznaczanie macierzy odwrotnej

[edytuj] Metoda dopełnień algebraicznych

Dla zadanej macierzy $A$ obliczamy następujące wyrażenie:

$A^{-1}={\frac{1} {\det A} }\cdot A_D^T$ ,

gdzie $A D$ oznacza macierz dopełnień algebraicznych macierzy $A$ (w powyższym wzorze jest ona dodatkowo transponowana: $A T$ oznacza operację transpozycji macierzy).

[edytuj] Metoda Gaussa

Macierz odwrotną można znajdować również bezwyznacznikowo. Niech $X \in M_{i \times j}(K)$ , zaś $Y \in M_{i \times k}(K)$ . Przez $\left[X|Y\right] \in M_{i \times (j+k)}(K)$ rozumieć będziemy macierz, której pierwsze $j$ kolumn jest kolumnami macierzy $X$ , a następne $k$ kolumn jest kolumnami macierzy $Y$ . Kreska między macierzami służy tylko oddzieleniu tych macierzy od siebie (np. aby uniknąć pomyłki z mnożeniem macierzy).

Chcemy rozwiązać układ równań $A B = I$ , względem macierzy $B$ , która jest szukaną macierzą odwrotną. Należy więc do obu podmacierzy macierzy $\left[A|I\right]$ domnożyć macierz $B$ (prawo- lub lewostronnie) otrzymując w ten sposób macierz $\left[AB|IB\right]$ lub $\left[BA|BI\right]$ . Ponieważ $B = A - 1$ to ostatecznie możemy interpretować tę operację jako $\left[A|I\right] \mapsto \left[I|A^{-1}\right]$ .

Ponieważ mnożenie macierzy nie jest operacją najłatwiejszą, a do tego nie znamy wartości macierzy $B$ , to wystarczy w sposób zachowujący rozwiązania tego układu równań przekształcić macierz $\left[A|I\right]$ w macierz $\left[I|A^{-1}\right]$ , czyli w gruncie rzeczy przekształcać podmacierz $A$ w podmacierz jednostkową $I$ operując na całej macierzy połączonej. Z pomocą przychodzą neutralne dla rozwiązań operacje elementarne na wierszach. Najszybszym zaś algorytmem wykorzystującym te operacje jest właśnie metoda eliminacji Gaussa.

[edytuj] Przypadki szczególne

Macierz odwrotna do macierzy diagonalnej powstaje poprzez odwrócenie jej współczynników:

$A^{-1} = \mathrm{diag}(\lambda_1,...,\lambda_n)^{-1} = \mathrm{diag}(\frac{1}{\lambda_1},...,\frac{1}{\lambda_n})$

Macierz odwrotna do macierzy ortogonalnej jest równa jej transpozycji (macierzy przestawionej):

A - 1 = A T

Macierz odwrotna do macierzy wymiaru 2x2 może być obliczona ze wzoru:

$A^{-1} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{bmatrix}$

[edytuj] Własności

Załóżmy, że $\det A \ne 0$ , czyli dla macierzy $A$ istnieje jej macierz odwrotna $A - 1$ (podobnie załóżmy o macierzy $B$ ). Wówczas

$\left(A^{-1}\right)^{-1} = A$ , czyli operacja odwracania macierzy jest inwolucją,
$\det A^{-1}={1 \over \det A}$ ,
$\left(A^T\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^T$ .
$\left(AB\right)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ , kolejność macierzy jest istotna, gdyż iloczyn macierzy nie jest przemienny!