Równanie trzeciego stopnia

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Równanie algebraiczne postaci

$ax^3+bx^2+cx+d=0\quad$

rozwiązać można na kilka sposobów.

Spis treści

1 Pierwszy sposób
2 Drugi sposób
3 Trzeci sposób
4 Zobacz też

[edytuj] Pierwszy sposób

Równanie należy przedstawić w bardziej użytecznej formie. Najpierw dzieląc przez a otrzymujemy

$x^{3}+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0$

i stosując podstawienie

$x=y-\frac{b}{3a}$

mamy

$\left(y-\frac{b}{3a}\right)^{3}+\frac{b}{a}\left(y-\frac{b}{3a}\right)^2+\frac{c}{a}\left(y-\frac{b}{3a}\right)+\frac{d}{a}=0$

po wymnożeniu, uproszczeniu i poszeregowaniu według potęg otrzymujemy

$y^{3}-y^{2}\frac{b}{a}+y^{2}\frac{b}{a}+y\frac{b^{2}}{3a^{2}}-y\frac{2b^{2}}{3a^{2}}+y\frac{c}{a}-\frac{b^{3}}{27a^{3}}+\frac{b^{3}}{9a^{3}}-\frac{bc}{3a^{2}}+\frac{d}{a}=0$

wyraz z kwadratem znika i równanie wygląda tak:

$y^{3}+y\left(\frac{c}{a}-\frac{b^{2}}{3a^{2}}\right)+\frac{2b^{3}}{27a^{3}}+\frac{d}{a}-\frac{bc}{3a^{2}}=0$

Następnie należy zastosować 2 podstawienia:

$p=\frac{c}{a}-\frac{b^{2}}{3a^{2}}$

$q=\frac{2b^{3}}{27a^{3}}+\frac{d}{a}-\frac{bc}{3a^2}$

Otrzymujemy równanie w postaci kanonicznej:

$y^{3}+py+q=0\quad$

następnie przyjmijmy, że

$y=u+v\quad$

Wówczas

$y^{3}=v^{3}+3uv^{2}+3u^{2}v+u^{3}=3uv(u+v)+u^{3}+v^{3}=3uvy+u^{3}+v^{3}\quad$

Po dalszym uporządkowaniu otrzymujemy

$y^{3}-3uvy-(u^{3}+v^{3})=0\quad$

Wyraźnie widać, iż konieczne jest, by

$3uv=-p\quad$ i $u^{3}+v^{3}=-q\quad$

W takim razie

$u=\frac{-p}{3v}$ , czyli

$\left(\frac{-p}{3v}\right)^{3}+v^{3}+q=0$ , stąd

$v^{3}-\frac{p^{3}}{27v^{3}}+q=0$

Po pomnożeniu przez $v^{3}\quad$ otrzymamy

$(v^{3})^{2}+q(v^{3})-\frac{p^{3}}{27}=0$ Czyli znana postać funkcji kwadratowej

Podstawiając za $v 3$ zmienną pomocniczą otrzymamy :

$v_{1,2}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}\pm\sqrt{\Delta}}$

$v_{3,4}=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}\pm\sqrt{\Delta}}$

$v_{5,6}=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}\pm\sqrt{\Delta}}$ Podobnie jak w trójmianie kwadratowym występuje wyraz nazywany wyróżnikiem

$\Delta=\left(\frac{p}{3}\right)^{3}+\left(\frac{q}{2}\right)^{2}$ Pamiętając o układzie równań dla zmiennych u,w po dalszych przekształceniach otrzymujemy wzory Cardana:

$x_{1}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}-\frac{b}{3a}$

$x_{2}=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}-\frac{b}{3a}$

$x_{3}=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}-\frac{b}{3a}$

[edytuj] Drugi sposób

Zależnie od znaku wyróżnika mamy 3 możliwości.

Gdy $\Delta>0\quad$ , to obliczamy takie pomocnicze zmienne:

$U=-\frac{q}{2}-\sqrt{\Delta}\quad$ , $\quad V=-\frac{q}{2}+\sqrt{\Delta}$

$u=\Re\sqrt[3]{U}\quad$ , $\quad v=\Re\sqrt[3]{V}$

(Re - część rzeczywista liczby zespolonej)

A pierwiastek jest wtedy równy:

$x=u+v-\frac{b}{3a}$

Gdy $\Delta=0\quad$ to pierwiastki są dwa:

$x_{1}=\sqrt[3]{\frac{q}{2}}-\frac{b}{3a}\quad$ , $\quad x_{2}=-2\sqrt[3]{\frac{q}{2}}-\frac{b}{3a}$

A gdy $\Delta<0\quad$ , to pierwiastki są trzy. Aby doprowadzić je do postaci rzeczywistej należy wyznaczyć liczby $a,b\quad$ aby

$\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\Delta}}=a+bi$ czyli $(a+bi)^3=-\frac{q}{2}+i\sqrt{-\Delta}$

Gdybyśmy stąd chcieli znaleźć liczby $a\quad$ i $b\quad$ z równań otrzymanych przez porównanie części rzeczywistych oraz współczynników przy $i\quad$ , doprowadziłoby to nas do równań trzeciego stopnia o ujemnym wyróżniku, a więc których pierwiastki jakkolwiek wszystkie trzy rzeczywiste, znowu byłyby przedstawione przez wzory o skomplikowanej postaci dwóch pierwiastków sześciennych z liczb zespolonych. Droga ta nie doprowadziłaby więc do celu. W tym przypadku wzory Cardano nie nadają się do obliczenia pierwiastków równania. Można je natomiast wówczas z łatwością obliczyć przy pomocy funkcji trygonometrycznych. Wyznaczamy liczbę dodatnią $r\quad$ i kąt $\varphi\quad$ tak, aby

$\Delta=-r^2\sin^2\varphi\quad,$ i $-\frac{q}{2}=r\cos\varphi$

Zatem:

$r=\sqrt{\frac{-p^3}{27}}\quad$ i $\cos \varphi=\frac{-\frac{q}{2}}{\sqrt{-\frac{p^3}{27}}},$

co jest zawsze możliwe, gdyż wobec $\Delta=\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}<0$ mamy

$-\frac{p^3}{27}>\frac{q^2}{4}\geq 0,\quad$ skąd $\left|\frac{-\frac{q}{2}}{\sqrt{\frac{-p^3}{27}}}\right|<1$

wzór przybierze wówczas postać:

$y=\sqrt[3]{r}\left(\sqrt[3]{\cos\varphi+i\sin\varphi}+\sqrt[3]{\cos\varphi-i\sin\varphi}\right)$

Lecz jak wiemy:

$\sqrt[3]{\cos\varphi+i\sin\varphi}=\cos\frac{\varphi+2k\pi}{3}+i\sin\frac{\varphi+2k\pi}{3},$

zatem:

$\sqrt[3]{\cos\varphi-i\sin\varphi}=\cos\frac{\varphi+2k\pi}{3}-i\sin\frac{\varphi+2k\pi}{3},$

więc ostatecznie:

$x_{1}=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos\frac{\varphi}{3}-\frac{b}{3a}$

$x_{2}=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos\frac{\varphi+2\pi}{3}-\frac{b}{3a}$

$x_{3}=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos\frac{\varphi+4\pi}{3}-\frac{b}{3a}$

Obie te metody po części wynikają jedna z drugiej, zatem żadna z nich nie jest osobnym odkryciem, lecz w drugiej podany jest gotowy wzór wynikający z działań na liczbach zespolonych. Wzory te zostały opublikowane przez Girolamo Cardano w jego największym dziele - Ars magna.

Oto kod źródłowy przedstawiający ten sposób w języku C

#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define PI 3.141592653589793238462643

void poly1(double[]);
void poly2(double[]);
void poly3(double[]);

int main(){
 double a[4];
 int i;
 printf("Rozwiazyzywanie rownan wielomianowych stopnia trzeciego \n \n");
 for(i=3;i>=0;i--){
  printf("a[%d]=",i);
  scanf("%lf",&a[i]);
 }
 printf("\n");
 poly3(a);
 printf("\n");
 return 0;
}
void poly1(double a[]){
 double x[1];
 if(a[1]==0.&&a[0]==0.)
 printf("x[0] jest dowolna liczba rzeczywista\n");
 if(a[1]==0.&&a[0]!=0.)
 printf("x[0] nie istnieje\n");
 if(a[1]!=0.){
  x[0]=(double)(-a[0]/a[1]);
  printf("x[0]=%.12f\n",x[0]);
 }
}

void poly2(double a[]){
 double delta;
 double x[2];
 delta=pow(a[1],2)-4*a[2]*a[0];
 if(a[2]==0.) poly1(a);
 if(a[2]!=0.&&delta<0)
 printf("x[0] w zbiorze liczb rzeczywistych nie istnieje\n");
 if(a[2]!=0.&&delta>=0.){
  x[0]=(-a[1]-sqrt(delta))/(2.*a[2]);
  x[1]=(-a[1]+sqrt(delta))/(2.*a[2]);
  printf("x[0]=%.12f\n",x[0]);
  printf("x[1]=%.12f\n",x[1]);
 }
}
void poly3(double a[]){
 double x[3];
 double p,q,r,th,u,v,c,delta,eps=1e-12;
 if(a[3]==0.) poly2(a);
 if(a[3]!=0.){
  c=-a[2]/(3.*a[3]);
  p=(3*a[3]*a[1]-pow(a[2],2))/(9.*pow(a[3],2));
  q=(2*pow(a[2],3)-9*a[3]*a[2]*a[1]+27*pow(a[3],2)*a[0])/(54.*pow(a[3],3));
  delta=pow(q,2)+pow(p,3);
  if(fabs(delta)<eps) delta=0.;
  if (delta>0){
   u=cbrt(-q-sqrt(delta));
   v=cbrt(-q+sqrt(delta));
   x[0]=u+v+c;
   printf("x[0]=%.12f\n",x[0]);
  }
  if(delta<=0.){
   r=hypot(-q,sqrt(-delta));
   th=atan2(sqrt(-delta),-q);
   x[0]=2*cbrt(r)*cos((th/3.))+c;
   x[1]=2*cbrt(r)*cos((th+2*PI)/3.)+c;
   x[2]=2*cbrt(r)*cos((th-2*PI)/3.)+c;
   printf("x[0]=%.12f\n",x[0]);
   printf("x[1]=%.12f\n",x[1]);
   printf("x[2]=%.12f\n",x[2]);
  }
 }
}

[edytuj] Trzeci sposób

Porównując postać kanoniczną do postaci iloczynowej

$(y-y_{1})(y-y_{2})(y-y_{3})=0\quad$

otrzymujemy nieliniowy układ równań z trzema niewiadomymi ale o wysokiej symetrii.

$y_{1}+y_{2}+y_{3}=0\quad$

$y_{1}y_{2}+y_{1}y_{3}+y_{2}y_{3}=p\quad$

$y_{1}y_{2}y_{3}=-q\quad$

Ten nieliniowy układ z trzema niewiadomymi jest jednym z niewielu które dają sie rozwiązac analitycznie. Ponieważ równanie trzecie zawiera iloczyn trzeciego stopnia wystarczy podstawienie para-trygonometryczne (ważony para-cosinus)

$y_{2}=e^{-i\phi} \sqrt[3]{z_{2}}+ e^{i\phi} \sqrt[3]{z_{3}}\quad$ ,