Regularna liczba kardynalna

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Regularna liczba kardynalna – nieskończona liczba kardynalna która nie może być przedstawiona jako suma mniej niż κ zbiorów mocy mniejszej niż κ. Nieskończone liczby kardynalne które nie są regularne nazywamy liczbami singularnymi.

W dalszej części tego artykułu zakładamy ZFC. (Bez AC, niektóre z definicji należy sformułować inaczej i niektóre stwierdzenia nie są prawdziwe).

Spis treści

1 Definicje
- 1.1 Pojęcia wstępne
- 1.2 Liczby regularne i liczby singularne
2 Podstawowe własności
3 Zobacz też

[edytuj] Definicje

[edytuj] Pojęcia wstępne

Liczba porządkowa $α$ jest początkową liczbą porządkową jeśli $α$ nie jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od niej mniejszą. Początkowe liczby porządkowe nazywamy liczbami kardynalnymi.
Przy założeniu ZFC, każdy zbiór A jest równoliczny z pewną liczbą kardynalna – liczba ta jest nazywana mocą zbioru A i jest oznaczana przez $| A |$ .
Skończone liczby kardynalne to liczby naturalne: 0, 1, 2, ..., a najmniejsza nieskończona liczba kardynalna to $\aleph_0$ , moc zbioru wszystkich liczb naturalnych.
Następnik liczby kardynalnej $κ$ to pierwsza liczba kardynalna większa od $κ$ (jest on oznaczany przez $κ +$ ).
Współkońcowość nieskończonej liczby kardynalnej $κ$ to najmniejsza liczba kardynalna $μ$ taka, że każdy zbiór mocy $κ$ może być przedstawiony jako suma $μ$ wielu zbiorów mocy mniejszej niż $κ$ :

${\rm cf}(\kappa)=\min\{\mu\in {\bold{CN}}: \kappa=\bigcup\limits_{\alpha<\mu} A_\alpha$ dla pewnych zbiorów $A_\alpha\subseteq\kappa$ takich, że

| A α | < κ

(dla wszystkich

α < μ

)

}

Warto zauważyć, że zdefiniowana powyżej współkońcowość liczby κ zgadza się z współkońcowością tej liczby jako porządku liniowego:

${\rm cf}(\kappa)=\min\{\alpha\in {\bold{ON}}:$ istnieje rosnący ciąg $\langle\xi_\beta:\beta<\alpha\rangle$ taki że $(\forall\beta<\alpha)(\xi_\beta<\kappa)$ oraz $(\forall\zeta<\kappa)(\exists\beta<\alpha)(\zeta<\xi_\beta)\}$ .

[edytuj] Liczby regularne i liczby singularne

Niech $\kappa\geq\aleph_0$ będzie liczbą kardynalną.

Jeśli $cf(κ) = κ$ to mówimy że $κ$ jest liczbą regularną.

Jeśli $cf(κ) < κ$ to mówimy że $κ$ jest liczbą singularną.

[edytuj] Podstawowe własności

$\aleph_0,\aleph_1,\aleph_2$ są liczbami regularnymi.
Każdy następnik kardynalny jest liczbą regularną.
$\aleph_\omega$ jest najmniejszą liczbą singularną. Następną taką liczbą jest $\aleph_{\omega+\omega}$ .
Jeśli $α$ jest graniczną liczbą porządkową, to ${\rm cf}(\aleph_\alpha)={\rm cf}(\alpha)$ . Zatem, dla granicznych $α$ , $\aleph_\alpha$ jest regularną liczbą kardynalną wtedy i tylko wtedy gdy $\aleph_\alpha=\alpha$ jest liczbą nieosiągalną.
Z punktu widzenia arytmetyki liczb kardynalnych, liczby regularne zachowują się całkowicie inaczej niż liczby singularne:

Zachowanie funkcji $\kappa\mapsto 2^\kappa$ dla liczb regularnych jest ograniczone jedynie przez warunek $κ < cf(2 κ)$ i przez trywialny warunek $\kappa < \lambda \Rightarrow 2^\kappa\le 2^\lambda$ . Przypuśćmy mianowicie, że F jest rosnącą funkcją określoną na wszystkich regularnych liczbach kardynalnych której wartościami są nieskończone liczby kardynalne i taką, że $\kappa<{\rm cf}({\bold{F}}(\kappa))$ dla wszystkich regularnych $κ$ . Wówczas jest niesprzecznym z ZFC, że $2^\kappa={\bold{F}}(\kappa)$ dla wszystkich regularnych liczb kardynalnych $κ$ .
Jeszcze nie zupełnie rozumiemy funkcji $\kappa\mapsto 2^\kappa$ dla liczb singularnych. Teoria PCF demonstruje nietrywialne ograniczenia zachowania tej funkcji.
Hipoteza liczb singularnych (SCH) to zdanie stwierdzające, że dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej $κ$ , jeśli $2 cf(κ) < κ$ to $κ cf(κ) = κ +$ . Przy założeniu SCH, potęgi liczb kardynalnych są wyznaczone przez funkcję $\kappa\mapsto 2^\kappa$ dla liczb regularnych. Naruszenie SCH jest związane z dużymi liczbami kardynalnymi: Z naruszenia SCH można znaleźć pewne duże liczby kardynalne w modelach wewnętrznych; a jeśli istnieją wystarczająco duże liczby kardynalne, można skonstruować modele naruszające SCH.