Skala alefów
Z Wikipedii
Skala alefów - ciąg wszystkich początkowych liczb porządkowych indeksowany liczbami porządkowymi.
[edytuj] Definicja
Mówimy, że liczba porządkowa α jest początkową liczbą porządkową jeśli α nie jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od niej mniejszą. Przez indukcję po wszystkich liczbach porządkowych definiujemy ciąg
(jest to klasa właściwa):
jest pierwszą nieskończoną liczbą porządkową,
jest pierwszą początkową liczbą porządkową większą od
,
- jeśli γ jest liczbą graniczną, to
.
Należy zauważyć, że czasami stosuje się oznaczenie ωα na . Zwykle ma to miejsce wtedy, gdy chcemy podkreślić że jesteśmy zainteresowani strukturą porządkową a nie tylko mocą zbioru. Tak więc zapis "ωα" oznacza często α-tą początkową liczbę porządkową z porządkiem.
[edytuj] Własności i przykłady
- W ZFC, każdy nieskończony zbiór X jest równoliczny z pewnym alefem (nazywanym mocą zbioru X).
jest liczebnością zbioru liczb naturalnych,
jest pierwszą nieprzeliczalną liczbą porządkową.
- Istnieją liczby porządkowe α takie że
(są to tzw punkty stałe skali alefów). Jeśli
jest liczbą nieosiągalną, to
, ale punkty stałe skali alefów można spotkać dużo wcześniej. Pierwszą taką liczbą jest granica (kres górny) ciągu
- Hipoteza continuum mówi, że zbiór
jest równoliczny z
.
ma tę ciekawą własność, że jest pierwszą liczbą kardynalną która nie może być mocą zbioru liczb rzeczywistych. Sporo badań było poświęconych zagadnieniu jakie wartości może mieć
. Po serii wyników niezależnościowych otrzymywanych przy założeniu dużych liczb kardynalnych przez wielu matematyków, Saharon Shelah podał następujące niespodziewane ograniczenie górne:
.