Skala alefów

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Skala alefów - ciąg wszystkich początkowych liczb porządkowych indeksowany liczbami porządkowymi.

[edytuj] Definicja

Mówimy, że liczba porządkowa $α$ jest początkową liczbą porządkową jeśli $α$ nie jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od niej mniejszą. Przez indukcję po wszystkich liczbach porządkowych $\alpha\in {\mathbf{ON}}$ definiujemy ciąg $\langle\aleph_\alpha:\alpha\in {\mathbf{ON}}\rangle$ (jest to klasa właściwa):

Alef-0, pierwsza nieskończona liczba kardynalna

$\aleph_0$ jest pierwszą nieskończoną liczbą porządkową,
$\aleph_{\alpha+1}$ jest pierwszą początkową liczbą porządkową większą od $\aleph_\alpha$ ,
jeśli $γ$ jest liczbą graniczną, to $\aleph_\gamma=\lim\limits_{\alpha<\gamma}\aleph_\alpha=\bigcup\limits_{\alpha<\gamma}\aleph_\alpha$ .

Należy zauważyć, że czasami stosuje się oznaczenie $ω α$ na $\aleph_\alpha$ . Zwykle ma to miejsce wtedy, gdy chcemy podkreślić że jesteśmy zainteresowani strukturą porządkową a nie tylko mocą zbioru. Tak więc zapis " $ω α$ " oznacza często $α$ -tą początkową liczbę porządkową z porządkiem.

[edytuj] Własności i przykłady

W ZFC, każdy nieskończony zbiór X jest równoliczny z pewnym alefem (nazywanym mocą zbioru X).
$\aleph_0$ jest liczebnością zbioru liczb naturalnych, $\aleph_1$ jest pierwszą nieprzeliczalną liczbą porządkową.
Istnieją liczby porządkowe $α$ takie że $\alpha=\aleph_\alpha$ (są to tzw punkty stałe skali alefów). Jeśli $\aleph_\alpha$ jest liczbą nieosiągalną, to $\aleph_\alpha=\alpha$ , ale punkty stałe skali alefów można spotkać dużo wcześniej. Pierwszą taką liczbą jest granica (kres górny) ciągu $\aleph_0, \aleph_{\aleph_0}, \aleph_{\aleph_{\aleph_0}},\ldots$
Hipoteza continuum mówi, że zbiór ${\mathbb R}$ jest równoliczny z $\aleph_1$ .
$\aleph_\omega$ ma tę ciekawą własność, że jest pierwszą liczbą kardynalną która nie może być mocą zbioru liczb rzeczywistych. Sporo badań było poświęconych zagadnieniu jakie wartości może mieć $\aleph_\omega^{\aleph_0}$ . Po serii wyników niezależnościowych otrzymywanych przy założeniu dużych liczb kardynalnych przez wielu matematyków, Saharon Shelah podał następujące niespodziewane ograniczenie górne: $\aleph_\omega^{\aleph_0}\leq 2^{\aleph_0}+\aleph_{\omega_4}$ .