Rozkład wartości osobliwych
Z Wikipedii
Rozkład według wartości osobliwych, rozkład według wartości szczególnych, dekompozycja głównych składowych, dekompozycja na wartości singularne, dekompozycja SVD, rozkład SVD, algorytm SVD (SVD - z ang. Singular Value Decomposition) to rozkład macierzy (dekompozycja) na wartości osobliwe (szczególne). Jest to metoda matematyczna stosowana m.in. w analizie statystycznej służąca do redukcji wymiaru macierzy. Posiada wiele zastosowań np. przy przetwarzaniu obrazów i sygnałów, w robotyce i automatyce.
Twierdzenie o rozkładzie na wartości szczególne: Każdą macierz A można przedstawić w postaci rozkładu SVD:
- A = UΣVT
gdzie U i V - macierze ortogonalne (U-1=UT; V-1=VT), Σ - macierz diagonalna (przekątniowa), taka że Σ = diag(σi), gdzie σi - nieujemne wartości szczególne (osobliwe) macierzy A, zwyczajowo uporządkowane nierosnąco.
Jeżeli macierz A jest macierzą nieosobliwą, to jej wszystkie wartości szczególne (osobliwe) są dodatnie. Jeżeli którakolwiek wartość szczególna macierzy jest równa 0, to macierz ta jest macierzą osobliwą.
Wartość bezwzględna wyznacznika kwadratowej macierzy A jest iloczynem jej wszystkich wartości szczególnych (osobliwych):
- |det(A)| = σ1 σ2 ... σn
Zobacz też: PCA - Principal Component Analysis, metody numeryczne
