Macierz diagonalna

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy
macierz jednostkowa
macierz zerowa
macierz elementarna
macierz schodkowa
macierz trójkątna
macierz symetryczna
macierz diagonalna
macierz idempotentna
macierz nilpotentna
macierz hermitowska
macierz unitarna
macierz ortogonalna
(!) macierz dopełnień algebraicznych
(!) macierz dołączona
więcej...

Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie
mnożenie macierzy
potęgowanie macierzy
odwracanie macierzy
diagonalizacja macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne

Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

[edytuj] Definicja

Macierz diagonalna $A = (a i j)$ to macierz kwadratowa, której wszystkie współczynniki leżące poza główną przekątną (diagonalą) są równe zeru:

$a_{ij} = 0 \ \ dla \ \ i \ne j$ .

Macierz diagonalna bywa oznaczana przez $\mathrm{diag}(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ , gdzie $a_1,\, a_2, \,...,\, a_n$ to kolejne współczynniki leżące na głównej przekątnej.

Warto pamiętać, że elementy macierzy diagonalnej leżące na głównej przekątnej również mogą być (wszystkie, lub niektóre) zerami.

[edytuj] Przykład

Macierz $\begin{bmatrix} -3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} = \mathrm{diag}(-3, 1, 0, 4)$ jest macierzą diagonalną.

[edytuj] Własności

Macierze diagonalne stopnia $n$ tworzą podpierścień pierścienia wszystkich macierzy wymiaru $n \times n$ .

Szczególnymi przypadkami macierzy diagonalnych są: macierz jednostkowa, dowolna kwadratowa macierz zerowa oraz dowolna macierz wymiaru pierwszego (a więc skalar).

[edytuj] Działania

suma macierzy diagonalnych jest macierzą diagonalną, iloczyn macierzy diagonalnych jest macierzą diagonalną, również macierz dołączona do macierzy diagonalnej jest macierzą diagonalną,