Rozmaitość różniczkowalna

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Przestrzeń topologiczną $\mathbb{X}^{n}, n=0,1,\ldots$ , nazywamy rozmaitością $n-\$ wymiarową, jeśli dla każdego punktu $x\in \mathbb{X}^{n}$ istnieje otwarte i spójne otoczenie $U\$ , $x\in U \subset \mathbb{X}^{n}$ , oraz homeomorfizm $\phi\colon U\to \phi(U)$ tego otoczenia $U\$ na otwarty zbiór $\phi(U)\$ przestrzeni wektorowej n-wymiarowej $\mathbb{R}^{n}$ nad ciałem $\mathbb{R}$ liczb rzeczywistych. Homeomorfizm taki nazywamy mapą rozmaitości $\mathbb{X}^{n}$ . Rodzina $\Phi=\{\phi_l\}_l \in I$ map nazywa się atlasem rozmaitości $\mathbb{X}^{n}$ , gdy dziedziny $U_l\$ homeomorfizmów $\phi_l\$ pokrywają rozmaitość $\mathbb{X}^{n}$ :

(1)

Zbiór wszystkich map rozmaitości $\mathbb{X}^{n}$ nazywamy atlasem zupełnym $\Phi_0\$ rozmaitości $\mathbb{X}^{n}\$ . Zawsze będziemy zakładali, że dla $l\neq\chi$ również $\phi_l \neq \phi_{\chi}$ ; tak więc każdy atlas można uważać za podzbiór atlasu $\Phi_0\$ , natomiast wskaźniki służą jedynie do rozróżniania map.

Dopuszczenie przypadku $n=0\$ jest celowe. Każda dyskretna przestrzeń topologiczna jest rozmaitością zerowymiarową.

Niech $a_i\$ , $i=0,1,\ldots,n,$ będzie bazą $\mathbb{R}^{n}$ , którą używamy jako ustaloną raz na zawsze. Każdy wektor $\kappa\in \mathbb{R}^n$ można utożsamić z uporządkowanym $n-\$ elementowym ciągiem $(\xi^i)\$ jego współrzędnych względem bazy $a_i\$ . Dla mapy $\phi\colon U\to \mathbb{R}^n$ otrzymujemy w tej bazie następujący opis:

(2)

który każdemu punktowi $x\in U\$ przyporządkowuje uporządkowany ciąg $n\$ liczb rzeczywistych $(x^i(x))\$ , czyli tzw. współrzędnych punktu $x\$ względem mapy $\phi\$ . Rozważmy dwie mapy $\phi_l\$ , $\phi_\chi\$ rozmaitości $\mathbb{X}^n$ , dla których przekrój $U_l\cap U_\chi\neq\emptyset$ . Wtedy punktowi $x\in U_l\cap U_\chi$ odpowiadają współrzędne $x^i(x)\$ w mapie $\phi_l\$ oraz $x^{i'}(x)\$ w mapie $\phi_\chi\$ . Oba te układy współrzędnych na przekroju $U_l\cap U_\chi\$ wzajemnie wiąże przekształcenie współrzędnych:

(3)

Samo $\phi_{\chi l}\$ jako złożenie homeomorfizmów jest również homeomorfizmem zbiorów otwartych przestrzeni $\mathbb{R}^n$ . Przechodząc do współrzędnych $\mathbb{R}^n$ w bazie $a_i\$ zapisujemy $\phi_{\chi l}\$ za pomocą układu $n\$ funkcji rzeczywistych $n\$ zmiennych

(4)

Każdemu atlasowi odpowiada zbiór przekształceń współrzędnych $\{\phi_{\chi l}\}\$ , dla którego zachodzi

    (5)               
     (6)

Niech $f\colon\mathbb{X}^n\to\mathbb{R}\$ będzie funkcją o wartościach rzeczywistych, określoną dla rozmaitości $\mathbb{X}^n\$ . Każdej mapie $\phi_l\$ jest przyporządkowane odpowiednie przedstawienie $f_l\$ funkcji $f\$ w tej mapie

(7)

Dla $x\in U_l \cap U_\chi\$ mamy dwa przedstawienia $f_l(x^i)\$ , $f_\chi(x^{i'})\$ funkcji $f\$ w mapach $\phi_l\$ , $\phi_\chi\$ , które wiąże wzajemnie reguła transformacyjna

(8)

Zatem, każdej funkcji rzeczywistej $f$ odpowiada rodzina $\{f_l\}_{l\in I}\$ jej przedstawień w mapach; odwrotnie, gdy dana jest rodzina $\{f_l\}_{l\in I}\$ funkcji rzeczywistych $n\$ zmiennych rzeczywistych $(x^i)\in \phi_l(U_l)\$ , dla której zachodzi (7), wtedy przyjmując $f(x)=f_l\circ \phi_l(x)\$ , $x\in U_l\$ otrzymamy poprawnie określoną funkcję rzeczywistą na rozmaitości $\mathbb{X}^n\$ . Niech $x\in U_l \cap U_\chi\$ , wtedy na mocy (3), (8) będzie

(9)

tak, że definicja funkcji $f(x)\$ nie zależy od wyboru mapy $\phi_l\$ $(x\in U_l)\$ . Zauważmy od razu $f\$ jest ciągła na $\mathbb{X}^n\$ wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej przedstawienia $f_l\$ w mapach są funkcjami ciągłymi. Analogicznie będziemy także badać różniczkowalność funkcji $f\$ na $\mathbb{X}^n$ za pomocą jej przedstawień w mapach niech $x_0\in U_l$ ; można powiedzieć, że $f\$ jest różniczkowalna w punkcie $x_0\$ , gdy $f_l\$ jest różniczkowalna w punkcie $(x_0^i)=\phi_l(x_0)\in\mathbb{R}^n$ . Dla $x_0\in U_l \cap U_\chi$ nie wynika na ogół z (8) różniczkowalność ${f_\chi}\$ w punkcie $(x_0^{i'})=\phi_\chi(x_0)$ , bo wprawdzie przekształcenia współrzędnych $\phi_{l \chi}\$ są homeomorfizmami, lecz wcale nie muszą być różniczkowalne. Jeśli pojęcie różniczkowalności ma mieć sens niezależny od mapy, czyli od wyboru układu współrzędnych, trzeba zawęzić pojęcie rozmaitości i zażądać, aby wszystkie przekształcenia współrzędnych $\phi_{l \chi}\$ były dostatecznie wiele razy różniczkowalne w sposób ciagły. Wtedy różniczkowalność $f_\chi\$ będzie wynikała z różniczkowalności $f_l\$ oraz $\phi_{l \chi}\$ na mocy (8) i reguły łańcuchowej dla pochodnych funkcji złożonych.

[edytuj] Przykłady

1)Przestrzeń $\mathbb{R}^n\$ $(\mathbb{C}^n)\$ jest $n\$ -krotnym iloczynem kartezjańskim prostych liczbowych (względnie płaszczyzn zmiennej zespolonej).

2)Iloczyn $n\$ -krotny okręgu $\mathbb{S}^1$ nazywamy $n\$ -wymiarowym torusem $\mathbb{T}^n\$ ; jest to rozmaitość różniczkowalna klasy $C_\omega\$ .

3)Niech $\mathbb{Y}$ będzie otwartym podzbiorem rozmaitości $\mathbb{X}^n$ . Wówczas ograniczenie atlasu $\Phi\$ tej rozmaitości do podzbioru określa w naturalny sposób strukturę różniczkowalną na $\mathbb{Y}$ , względem której $\mathbb{Y}$ jest $n\$ -wymiarową podrozmaitością rozmaitości $\mathbb{X}^n$ . Nazywamy $\mathbb{Y}$ podrozmaitością otwartą.

4)Niech $\mathbb{X}^2$ oraz $\hat{\mathbb{X}}^2$ będą dwoma egzemplarzami płaszczyzny $\mathbb{R}^2$ . Utożsamiamy półpłaszczyzny $y<0\$ , $\hat{y}<0\colon$ $(\hat{x}, \hat{y})\equiv (x,y)$ wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi $\hat{x}=x$ oraz $y=\hat{y}<0$ . Powstaje wówczas rozmaitość analityczna $\mathbb{Y}^2$ , która nie jest rozmaitością Hausdorffa. Przykładowo otoczenia punktów $(\hat{0}, \hat{0})$ oraz $(0, 0)\$ nigdy nie maja pustego przekroju. Natomiast przestrzeń $\mathbb{Y}^2$ jest przestrzenią $T_1\$ .