Twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności ograniczonej

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności ograniczonej – twierdzenie w analizie i teorii miary stwierdzające, że granica odpowiednio ograniczonego ciągu funkcji mierzalnych jest całkowalna i jej całka jest granicą całek z wyjściowych funkcji.

Nazwa twierdzenia została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka Henri Lebesgue'a.

[edytuj] Twierdzenie

Załóżmy że:

(a) $(X,\mathcal{F},\mu)$ jest przestrzenią mierzalną z miarą,

(b) $f_n:X\longrightarrow {\mathbb R}$ (dla $n\in {\mathbb N}$ ) jest funkcją mierzalną,

(c) dla pewnej funkcji całkowalnej $g:X\longrightarrow {\mathbb R}$ mamy, że $|f_n(x)|\leq g(x)$ dla wszystkich $x\in X$ i $n\in {\mathbb N}$ ,

(d) dla wszystkich $x\in X$ istnieje granica $\lim\limits_{n \to \infty} f_n(x)$ ; niech funkcja $f:X\longrightarrow {\mathbb R}$ będzie zdefiniowana przez

$f(x)=\lim\limits_{n \to \infty} f_n(x)$ dla $x\in X$ .

Wówczas funkcja f jest całkowalna oraz

$\lim\limits_{n\to\infty}\int |f_n-f|\ d\mu=0$ i $\int f\ d\mu=\lim\limits_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu$ .

Powyższe twierdzenie często formułuje się tak, że w (c) i (d) jest wymagana zbieżność prawie wszędzie, a nie dla każdego $x$ .

[edytuj] Szkic dowodu

Załóżmy że są spełnione warunki (a)-(d). Najpierw zauważamy, że f jest funkcją mierzalną oraz $|f(x)|\leq g(x)$ (dla wszystkich $x\in X$ ), a stąd f jest całkowalna. Zauważmy, że $|f_n(x)-f(x)|\leq 2g(x)$ (dla każdego x), więc możemy zastosować lemat Fatou do funkcji $h_n=2g-|f_n-f|\$ . Ponieważ $2g(x)=\lim\limits_{n\to\infty}h_n(x)=\liminf\limits_{n\to\infty}h_n(x)$ , to otrzymujemy wówczas, że

$\int 2g\ d\mu\leq\liminf\limits_{n\to\infty}\int h_n\ d\mu=\liminf\limits_{n\to\infty}\int 2g-|f_n-f|\ d\mu=$

$\int 2g\ d\mu+\liminf\limits_{n\to\infty}\left(-\int |f_n-f|\ d\mu\right)=\int 2g\ d\mu-\limsup\limits_{n\to\infty}\left(\int |f_n-f|\ d\mu\right)$

Stąd już wnioskujemy że $\limsup\limits_{n\to\infty}\left(\int |f_n-f|\ d\mu\right)=0$ a zatem $\lim\limits_{n\to\infty}\int |f_n-f|\ d\mu=0$ . Ponieważ $\left|\int f_n-f\ d\mu\right|\leq\int |f_n-f|\ d\mu$ , to możemy też wywnioskować, że $\int f\ d\mu=\lim\limits_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu$ .

[edytuj] Przykład

Rozważmy odcinek $(0,1)$ wyposażony w miarą Lebesgue'a λ. Dla liczby naturalnej $n\in {\mathbb N}$ zdefinujmy funkcję $f_n:(0,1)\longrightarrow {\mathbb R}$ przez

$f_n(x) = \left\{\begin{matrix} n & \mbox{gdy} \quad x\in \left(0,\frac{1}{n}\right] \\ 0 & \mbox{gdy} \quad x\in \left(\frac{1}{n},1\right)\end{matrix}\right.$

Wtedy $f_n(x) \to 0$ dla $x \in (0,1)$ , natomiast $\int f_n\;d\lambda = n\lambda\left(\left(0,\frac{1}{n}\right)\right) = n \frac{1}{n} =1 \not\to 0=\int 0\;d\lambda$ .