Własność Darboux
Z Wikipedii
Własność Darboux jest jedną z najważniejszych własności funkcji ciągłych.
Funkcja 
ma własność Darboux jeśli obraz każdego przedziału jest znowu przedziałem. W szczególności:
- Jeżeli a < b,
, obraz funkcji f obejmuje cały przedział [f(a),f(b)] (albo [f(b),f(a)]), więc istnieje taka wartość c należąca do przedziału domkniętego [a,b], że f(c) = 0.
Mówimy że funkcja 
między przestrzeniami topologicznymi ma własność Darboux, jeżeli obraz każdego podzbioru spójnego przestrzeni X jest podzbiorem spójnym przestrzeni Y. (Jest to uogólnienie powyższego pojęcia, gdyż podzbiór 
jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy A jest przedziałem.)
- Twierdzenie Darboux (opublikowane przez Gastona Darboux) mówi, że każda funkcja ciągła ma własność Darboux.
- Nie każda funkcja o własności Darboux jest ciągła. Na przykład, funkcja
- ma własność Darboux, ale nie jest ciągła w punkcie 0.
- Suma dwóch funkcji o własności Darboux nie musi mieć własności Darboux. Za pomocą indukcji pozaskończonej można[1] znaleźć taką funkcję o własności Darboux, że nawet funkcja g(x): = f(x) + x nie ma własności Darboux.
- Jeśli funkcja o własności Darboux jest różniczkowalna w pewnym zbiorze, to jej pochodna także ma własność Darboux w tym zbiorze.
[edytuj] Bibliografia
- ↑ T. Radakovič, Über Darbouxsche und stetige Funktionen, Monatshefte für Mathematik und Physik 38 (1931), s.117-122
