Wymiar podobieństwa

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Wymiar podobieństwa - inaczej wymiar fraktalny, wymiar samopodobieństwa jest miarą fraktali. Wyrażany jest przy pomocy liczb rzeczywistych niewymiernych - nie istnieją jednostki, którymi można byłoby zapisać miarę fraktala.

Otaczający nas świat jest trójwymiarowy. By opisać położenie jakiegoś punktu w przestrzeni, stosujemy trzy współrzędne - x, y i z. Gdy jednak chcemy opisać położenie przedmiotu (a ściślej jakiegoś punktu) położonego na stole, wystarczją nam dwie współrzędne - x i y. Zaś gdy chcemy opisać położenie np. pewnego miejsca na sznurze, to może nam wystarczyć jedna współrzędna.

Analizując położenia przedmiotów w przestrzeni, oraz określając różne miejsca, użyliśmy dwóch definicji wymiarów - wymiaru euklidesowego (zwany także wymiarem Hausdorffa) - De, oraz wymiaru topologicznego (Dt). Ten pierwszy służy do sprecyzowania przedmiotu, zaś drugi - ogólnie mówiąc - jest miarą faktycznego wymiaru przedmiotu.

Warto poprzeć tę informację przykładem. Weźmy sznur, zwinięty w kłębek. Ma on jeden wymiar topologiczny (jedna współrzędna wymagana do określenia połozenia na nim), ale jego wymiar euklidesowy jest równy 3, niezależnie od tego, czy jest zwinięty, czy też rozwinięty. Topologia jest nazywana "gumową" geometrią, ponieważ zajmuje się tylko jakościowym kształtem przedmiotu. Tak więc niezależnie, czy przedmiot jest rozciągnięty, czy zwinięty w kłębek, dla topologii jest jednym i tym samym. Skąd określenie "gumowa"? Przedmioty z gumy możemy właśnie tak rozciągać i zniekształcać - dla topologii zawsze są jednym i tym samym.

[edytuj] Definicja

Wymiar podobieństwa, czy też wymiar fraktalny określa rzeczywistą miarę fraktala (której jednak nie możemy wyrazić w znanych nam jednostkach). Poprawna definicja w. podobieństwa brzmi:

Jeśli przedmiot w całej wielkości zawiera N samopodobnych kopii siebie wielkości s, to jego wymiar samopobieństwa wyrażony jest przez równanie:

Ns^Ds=1

Można je przekształcić do postaci:

$D_{s}=\frac{\log(N)}{\log(1/s)}$

[edytuj] Przykładowe wymiary

Wymiary samopodobieństwa fraktali nie są liczbami wymiernymi. Na przykład w. fraktalny Zbioru Cantora wynosi w przybliżeniu 0,630929, zaś Gąbki Mengera około 2,726833. Wymiary samopodobieństwa figur zdecydowanie bliższych nam - lini, kwadratu i sześcianu, to odpowiednio 1, 2 i 3. Takie też są ich wymiary topologiczne, czyli tyle współrzędnych jest nam potrzebnych do opisania położenia w ich wnętrzu. Co więc z fraktalami? Ich wymiary samopobieństwa zawierają się np. w przedziale (1,2), czyli wymiary tej grupy fraktali (mowa tu na przykład o Trójkącie Sierpińskiego, czy Płatku Kocha) są mniejsze niż figury płaskiej, a większe niż prostej. Tak więc fraktale, których wymiary samopodobieństwa zawierają się w tym przedziale, nie są już prostymi, a jeszcze nie są figurami płaskimi.