Topologia

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Ten artykuł dotyczy działu matematyki. Zobacz też: Przestrzeń topologiczna.

Topologia (gr. topos – miejsce i logos – nauka) – dziedzina matematyki zajmująca się badaniem tych własności rozmaitych przestrzeni (tak zwanych przestrzeni topologicznych), które są zachowywane podczas ich przekształceń takich jak rozciąganie (bez rozrywania), czy wyginanie (bez sklejania). Przykładami własności topologicznych są "składanie się z jednego kawałka" lub "wymiar przestrzeni".

Przestrzenie mające takie same własności topologiczne są z punktu widzenia topologii nieodróżnialne (homeomorficzne) i w konsekwencji mogą być traktowane jako różne egzemplarze przestrzeni jednego rodzaju.

Papierowy model wstęgi Möbiusa

Nasza wyobraźnia jest silnie związana z przedstawieniami wzrokowymi, jednak w topologii zwykle znajdujemy się "wewnątrz" przestrzeni. Oznacza to, że badając topologiczne własności odcinka, nie należy wyobrażać go sobie jako znajdującego się na płaszczyźnie lub w przestrzeni. Jedyne czym dysponujemy w tej sytuacji to jego własności zauważalne z "wewnętrz". Tak więc badając wstęgę Möbiusa szukamy takich jej własności, które nie zależą od jej szczególnej reprezentacji, czy położenia w innej przestrzeni. Podróżując wzdłuż wstęgi możemy np. zauważyć, że jest nieorientowalna.

Węzeł

Czasami jednak bardziej interesujące mogą być dla nas własności obiektów zanurzonych w pewnych przestrzeniach, wtedy nie traktujemy tych obiektów jak samoistnych przestrzeni starając się notować jak dana przestrzeń zmienia własności obiektu. Przykładami mogą być obiekty z teorii węzłów. Jako przestrzenie topologiczne węzły są identyczne, ale jako obiekty zanurzone w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej tworzą dużą rodzinę nierównoważnych bytów.

Na polskim rynku wydawniczym istnieje szereg podręczników akademickich poświęconych topologii i jej działom. Wśród uznanych za klasykę tematu należy wymienić książkę Ryszarda Engelkinga^[1] oraz podręcznik Ryszarda Engelkinga i Karola Siekluckiego^[2].

[edytuj] Czym zajmuje się topologia?

[edytuj] Żartobliwy przykład

Żartobliwe określenie topologa mówi, że jest to taki matematyk, który nie potrafi odróżnić kubka do kawy od obwarzanka. Istotnie, poniższy przykład pokazuje jak można zdeformować kubek do postaci obwarzanka (deformacja przebiega w sposób ciągły, bez rozrywania i sklejania części kubka)

Kubek może być przekształcony na obwarzanek

Oznacza to właśnie, że kubek i obwarzanek są homeomorficzne, a więc z punktu widzenia topologii nieodróżnialne.

Nietrudno teraz podać inne przykłady przestrzeni, które dla topologa niczym się nie różnią. Kulka plasteliny jest tym samym, co ulepiona z niej żyrafa (o ile podczas jej lepienia nie rozerwiemy i nie skleimy ze sobą wygiętych kawałków), trójkąt jest tym samym co kwadrat (a nawet koło).

[edytuj] Przykłady twierdzeń topologicznych i wniosków z nich płynących

W Waszyngtonie, w miejscu upamiętniającym amerykańskich marynarzy z czasów II wojny światowej (the United States Navy Memorial) znajduje się mapa świata ułożona z materiałów tworzących chodnik na dużym placu (zobacz zdjęcia poniżej). Za wyjątkiem zniekształceń na obwodzie tej mapy, jest ona wierną reprezentacją powierzchni Ziemi w pewnej skali. Na podstawie twierdzenia Banacha o odwzorowaniu zwężającym możemy powiedzieć, że jest punkt na tej mapie, który odpowiada samemu sobie (tzn. ten punkt i jego reprezentacja na mapie znajdują się w tym samym miejscu).

US Navy Memorial w Waszyngtonie: mapa świata.

Fragment mapy świata przedstawiający Stany Zjednoczone.

W części mapy przedstawiającej Wschodnie Wybrzeże Stanów Zjednoczonych znajduje się punkt, który odpowiada samemu sobie w terenie.

Na podstawie twierdzenia Borsuka-Ulama możemy stwierdzić, że w każdym momencie są na Ziemi dwa punkty antypodyczne, w których zarówno temperatura jak i wilgotność powietrza są takie same. Przypomnijmy, że twierdzenie Borsuka-Ulama mówi, że dla każdej ciągłej funkcji $f:S^{n-1} \to \mathbb R^n$ (gdzie $S^{n-1}\subseteq \mathbb R^n$ jest sferą $n - 1$ -wymiarową) istnieją dwa punkty antypodyczne $x,y\in S^{n-1}$ dla których $f(x)=f(y)\$ .
Twierdzenie Lusternika-Schirelmanna-Borsuka mówi, że jeśli sfera $S^{n-1}\$ jest pokryta przez $n$ zbiorów, z których każdy jest albo otwarty, albo domknięty, to jeden z tych zbiorów zawiera punkty antypodalne.

Znana jest anegdota, według której twierdzenie to uratowało pewien wyimaginowany świat przed wielkim nieszcześciem: Istniały trzy supermocarstwa, które postanowiły zakończyć wszystkie waśnie i podzielić się strefami wpływów (oczywiście, oznaczałoby to, że mocarstwa te mogłoby wówczas spokojnie eksploatować narody im podległe). Każde z mocarstw miało otrzymać część planety w "wieczyste władanie", a tereny każdej ze stref wpływów miały tworzyć albo zbiór otwarty albo domknięty. Z powodów związanych z uzbrojeniem umieszczonym na satelitach, żadne z mocarstw nie chciało, aby inne mocarstwo miało pod swoją kontrolą jakiekolwiek dwa punkty antypodalne. Lata prób nie doprowadziły do rozwiązania problemu, a ogłoszenie twierdzenia spowodowało szczęśliwy rozpad supermocarstw.

[edytuj] Od analizy i geometrii do topologii

Korzenie topologii tkwią w geometrii i często mówi się o topologii jako o jednej z geometrycznych dziedzin matematyki, ale w równej mierze topologia wyrosła z analizy matematycznej.

Zarówno w geometrii jak i w analizie ważnym pojęciem jest odległość i definiowane przy jej użyciu pojęcia granicy ciągu czy też granicy funkcji, ciągłości, pojęcia zbioru otwartego i domkniętego i wiele pokrewnych. Matematycy zauważyli, że pojęcie odległości można przenieść na przestrzenie ogólniejsze – a więc na przykład na sferę, na zbiór słów oraz bardziej abstrakcyjne przestrzenie. Z drugiej strony, w przestrzeniach euklidesowych można wprowadzić inne definicje odległości (na przykład na płaszczyźnie odległość dwóch punktów można zdefiniować jako sumę ich normalnych, euklidesowych odległości od punktu (0,0) – jest to tak zwana odległość centrum lub odległość kolejowa).

Takie rozważania doprowadziły do sformułowania definicji przestrzeni metrycznej, a więc przestrzeni (zbioru) z określoną na niej odległością (metryką). Fakt, że na danym zbiorze mamy możliwość określania odległości, pozwala nam zdefiniować od razu pojęcie granicy ciągu czy funkcji, a więc także przenieść na ten zbiór sporą część analizy matematycznej.

Zauważono również, że wiele własności obiektów studiowanych w analizie może być scharakteryzowana przy użyciu jedynie zbiorów otwartych. Przypomnijmy, że zbiory otwarte to takie zbiory, które są sumami (również nieskończonymi) kul otwartych (a więc zbiorów punktów odległych od zadanego punktu (środka) o mniej niż zadana odległość (promień)). Na przykład, można wykazać, że funkcja $f:X\longrightarrow Y$ pomiędzy przestrzeniami metrycznymi jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz $f - 1 (U)$ dowolnego otwartego podzbioru $Y$ jest otwarty w $X$ . Często okazuje się, że zrozumienie jaka jest struktura zbiorów otwartych jest bardziej użyteczne niż studiowanie samej metryki.

Podstawowy obiekt zainteresowań topologii, przestrzeń topologiczna, to uogólnienie pojęcia przestrzeni metrycznej – można powiedzieć że to przestrzeń z zadanymi zbiorami otwartymi. Obiekty, z którymi spotykamy się w rozważaniach topologicznych są uogólnieniami pojęć znanych z przestrzeni euklidesowych (czyli prostej rzeczywistej, płaszczyzny, przestrzeni trójwymiarowej).

Może się to wydawać mało intuicyjne, ale okazało się, że język topologii jest częstokroć bardziej użyteczny niż język odległości. W szczególności okazało się, że istnieją przestrzenie, na których można zdefiniować topologie, które nie stanowią rodzin sum kulek, jakiejkolwiek definicji odległości byśmy nie przyjęli. Oznacza to, że istnieją przestrzenie topologiczne, które nie są metryzowalne.

Topologia jest abstrakcyjnym działem matematyki. Znajduje zastosowanie w wielu rozważaniach matematycznych, ponieważ topologie (w sensie rodziny zbiorów) możemy określać na dowolnych zbiorach (których elementami mogą być funkcje, zbiory czy też miary), w przeciwieństwie do geometrii, która operuje jedynie na obiektach z przestrzeni euklidesowych. Dostarcza ona matematykom dość ogólnego języka, który pozwala na abstrakcyjne spojrzenie na niektóre problemy. Ponieważ czasami łatwiej jest dostrzec rozwiązanie problemu gdy widzi się mniej szczegółów (czyli gdy bada się bardziej ogólne zagadnienie), metody topologiczne były z powodzeniem stosowane w wielu dziedzinach matematyki: od analizy po geometrię, równania różniczkowe czy też algebrę.

[edytuj] Przykład argumentacji topologicznej w analizie

Ciekawym przykładem rozumowania topologicznego może być dowód twierdzenia, że istnieją funkcje ciągłe z prostej rzeczywistej $\mathbb R$ w $\mathbb R$ , które nie są różniczkowalne w żadnym punkcie. Pierwszy przykład takiej funkcji był podany przez niemieckiego matematyka Karla Weierstrassa, ale pewna złożoność tego przykładu mogła sugerować unikalność tego typu funkcji. Polski matematyk Stefan Banach przedstawił w 1931 topologiczny dowód istnienia takich funkcji. Niech $\mathcal C([0,1])$ będzie przestrzenią wszystkich funkcji ciągłych z odcinka $[0,1]$ w zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb R$ . Wyposażmy $\mathcal C([0,1])$ w topologię zbieżności jednostajnej zadanej przez metrykę $d(f, g) = \sup \{|f(x)-g(x)|: x \in [0,1]\}$ . Wówczas $\mathcal C([0,1])$ jest przestrzenią polską w której zbiór

$R=\big \{f\in {\mathcal C}([0,1]): f$ jest różniczkowalna przynajmniej w jednym punkcie odcinka $[0,1]\ \big\}$

jest pierwszej kategorii. Ponieważ przestrzeń $\mathcal C([0,1])$ jest zupełna (a więc jest przestrzenią Baire'a), to można powiedzieć, że z topologicznego punktu widzenia prawie każda funkcja ciągła nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie. Interesującym jest fakt, że dowód ten wykazuje istnienie funkcji nieróżniczkowalnych w żadnym punkcie, jednak nie wskazuje konkretnego przykładu takiej funkcji.

[edytuj] Trzy gałęzie topologii

Zgodnie z klasyfikacją badań naukowych w matematyce prowadzoną przez Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, współczesne badania topologiczne są podzielone na trzy pod-dziedziny.

[edytuj] Topologia ogólna

Obiektem badań tutaj są przestrzenie topologiczne w swojej najogólniejszej postaci, ale często również wyposażone w dodatkową strukturę (np. metrykę) lub posiadające dodatkowe własności (np. bada się przestrzenie zwarte). Aksjomaty oddzielania, zachowywanie różnych własności w produktach przestrzeni topologicznych czy też przez ciągłe obrazy, własności pierścienia funkcji ciągłych na danej przestrzeni, uzwarcenia przestrzeni topologicznych czy też funkcje kardynalne to typowe tematy rozważań w topologii ogólnej. Metody teorii mnogości są tutaj często używane i nierzadko można spotkać twierdzenia zakładające aksjomat Martina czy też PFA oraz wyniki forsingowe dotyczące niezależności pewnych stwierdzeń od aksjomatów ZFC.

[edytuj] Topologia algebraiczna

Z wieloma przestrzeniami topologicznymi można związać różne obiekty algebraiczne (przykładem takiego obiektu może być tak zwana grupa podstawowa przestrzeni topologicznej). Ponieważ to przyporządkowanie jest robione tak, że obiekty związane z homeomorficznymi przestrzeniami są izomorficzne w sensie algebraicznym, to można użyć badanie tych struktur algebraicznych do poznania własności wyjściowych przestrzeni topologicznych.

[edytuj] Topologia rozmaitości

Rozmaitości to przestrzenie topologiczne, które "lokalnie" wyglądają tak jak przestrzenie euklidesowe. Często te przestrzenie są wyposażone w strukturę różniczkową i są to zwykle najbardziej "naturalne" przykłady przestrzeni topologicznych, włączając popularne powierzchnie. Nierzadko do badania tych obiektów używa się metod topologii algebraicznej. Również badania w zakresie teorii węzłów są zaliczane do tej dziedziny.

[edytuj] Rys historyczny

Jako osobna dziedzina matematyki topologia zaczęła się rozwijać w końcu XIX w. i ukształtowała się w I poł. XX w. Przez kolejne 50 lat była najbujniej rozwijającą się dziedziną matematyki, w czym niemały udział mieli matematycy skupieni w polskiej szkole matematycznej. W początkowym okresie rozwoju topologii matematycy określali nową dziedzinę jako geometria situs (łac. geometria położenia/miejsca) lub analysis situs (łac. analiza położenia/miejsca).

Siedem mostów w Królewcu

Za twórcę topologii należy uznać Bernharda Riemanna, który jako pierwszy prowadził badania stricte topologiczne, choć oczywiście pewne wyniki, które dziś zaliczamy do topologii znane były już wcześniej. Niektórzy matematycy uważają, że pierwszym wynikiem topologicznym jest rozwiązanie przez Leonharda Eulera problemu mostów w Królewcu w 1736 r. Euler wykazał, że nie można przejść przez wszystkie mosty tak, żeby każdy przekroczyć tylko raz i wrócić do miejsca, z którego się wyruszyło. Ponieważ rozwiązanie zależy tylko od tego, które mosty są połączone drogą lądową, a nie zależy od długości mostów czy ich wzajemnej odległości, to można argumentować, że rozumowanie Eulera było topologiczne w swoim charakterze.

Termin topologia był po raz pierwszy użyty w druku przez niemieckiego matematyka Johanna Benedicta Listinga w 1847^[3], a około roku 1920 uznano powstanie nowej dziedziny matematyki i pewnych matematyków zaczęto określać jako topologów.

W 1854 Riemann wygłasza na uniwersytecie w Getyndze wykład habilitacyjny O hipotezach, jakie leżą u podstaw geometrii^[4] w którym wprowadził podstawy geometrii Riemanna.
W końcu XIX w. Georg Cantor zainteresowany podzbiorami prostej rzeczywistej pojawiającymi się w teorii szeregów Fouriera rozwinął podstawy teorii mnogości. Rozważał on otwarte i domknięte podzbiory przestrzeni euklidesowych, a także operacje wnętrza i domknięcia w tych przestrzeniach. Wkrótce jego prace stały sie podstawą wszelkich badań w topologii ogólnej.
W 1890, Giuseppe Peano podał przykład ciągłego odwzorowania z odcinka $[0,1]$ na kwadrat $[0,1]\times [0,1]$ . Ten i inne przykłady krzywych Peano były bodźcem do rozwoju teorii wymiaru.
W 1895, Henri Poincaré opublikował pracę Analysis Situs^[5], w której wprowadził pojęcia homotopii i homologii i dał pierwsze systematyczne podejście do topologii ustalając podstawy topologii algebraicznej.
W 1906, Maurice Fréchet, w swojej rozprawie doktorskiej^[6] wprowadził pojęcie przestrzeni metrycznej (chociaż sam nie używał tej nazwy, a została ona została nadana tego typu przestrzeniom później przez Felixa Hausdorffa). Fréchet rozważał też abstrakcyjne struktury topologiczne zdefiniowane w terminach ciągów zbieżnych (co jest odzwierciedlone we współczesnej terminologii przez pojęcie przestrzeni Frécheta).
W 1914 r. Felix Hausdorff wprowadził pojęcie przestrzeni topologicznej, a podana przez niego definicja obejmuje szeroką klasę przestrzeni znanych dzisiaj jako przestrzenie Hausdorffa.
Współczesna definicja przestrzeni topologicznej (w terminach operacji domknięcia) była sformułowana przez Kazimierza Kuratowskiego w 1922^[7].

[edytuj] Polscy matematycy w topologii

Topologia jest jedną z tych dziedzin matematyki w których wkład polskich matematyków był i jest bardzo istotny. Warszawska szkoła matematyczna była w centrum rozwoju topologii, ale również matematycy związani z lwowską szkołą matematyczną uzyskiwali wyniki istotne dla tej dziedziny. Tradycje te są kontynuowane współcześnie przez wielu polskich matematyków pracujących w Kraju jak i poza jego granicami. Wśród polskich matematyków powszechnie uznanych za wybitnych, ważny wkład w rozwój topologii mieli:

[edytuj] Bibliografia

↑ Engelking, Ryszard: Topologia ogólna. Biblioteka Matematyczna. Tom 47. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1975.
↑ Ryszard Engelking; Karol Sieklucki: Geometria i topologia. Część II. Topologia. Biblioteka Matematyczna. Tom 54. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1980. ISBN 83-01-01371-0.
↑ Johann Benedict Listing; Vorstudien zur Topologie; Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen, pp. 67, 1848.
↑ Bernhard Riemann: Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen. Treść wykładu w j. ang.: [1]
↑ Henri Poincaré: Analysis situs. "J. de l'Éc. Pol.", (2) I. (1895), s.1-123.
↑ Maurice Fréchet: Sur quelques points du calcul fonctionnel. "Rend. del Circ. Mat. di Palermo", 22 (1906), s. 1-74.
↑ Kazimierz Kuratowski: Sur l'opération $\overline{A}$ de l'Analysis Situs. "Fundamenta Mathematicae", 3 (1922), s. 182-199.