Wypukłość funkcji

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Spis treści

1 Wypukłość
2 Wklęsłość
3 Punkt przegięcia
4 Ogólna definicja wypukłości
- 4.1 Wklęsłość
5 Zobacz też

[edytuj] Wypukłość

Funkcja $f (x)$ jest wypukła (wypukła w dół) w przedziale $(a, b)$ wtedy i tylko wtedy, gdy wykres funkcji leży ponad wykresem stycznej dla każdego punktu $x 0$ z przedziału $(a, b)$ . W przypadku funkcji różniczkowalnej zapisuje się to wzorem $\forall_{x, x_0 \in (a,b)}\; f(x) - f(x_{0}) \geq f'(x_0)(x-x_{0})$ .

Równanie stycznej do krzywej $y = f (x)$ w punkcie $x 0$ ma postać: $y = f (x 0) + f'(x 0)(x - x 0)$

Jeśli funkcja $f (x)$ jest dwukrotnie różniczkowalna na $(a, b)$ , to aby była ona wypukła (wypukła ku dołowi) w przedziale $(a, b)$ , wystarczy żeby jej druga pochodna w tym przedziale była nieujemna: $\forall_{x \in (a,b)}\; f''(x)\geq 0$

[edytuj] Wklęsłość

Funkcja $f (x)$ jest wklęsła (wypukła w górę) w przedziale $(a, b)$ wtedy i tylko wtedy, gdy wykres funkcji leży pod wykresem stycznej dla każdego punktu $x 0$ z przedziału $(a, b)$ . W przypadku funkcji różniczkowalnej zapisuje się to wzorem: $\forall_{x, x_0 \in (a,b)}\; f(x) - f(x_0) \leq f'(x_0)(x-x_0)$

Jeśli funkcja $f (x)$ jest dwukrotnie różniczkowalna na $(a, b)$ , to aby była ona wklęsła (wypukła ku górze) (w przedziale $(a, b)$ ), wystarczy żeby druga pochodna w tym przedziale była niedodatnia: $\forall_{x \in (a,b)} f''(x)\leq 0$ .

[edytuj] Punkt przegięcia

Jeżeli z jednej strony punktu $x 0$ funkcja jest wypukła zaś z drugiej wklęsła, to $x 0$ nazywamy punktem przegięcia krzywej.

Punkt $x 0$ może być punktem przegięcia tylko wtedy, gdy $f''(x_0) = 0 \,$ .

[edytuj] Ogólna definicja wypukłości

Powyższe definicje wypukłości i wklęsłości mają zastosowanie dla funkcji różniczkowalnych. W ogólnym przypadku

funkcję $f$ nazywamy wypukłą w przedziale $(a, b)$ , jeżeli $\forall_{x, y \in (a, b)} \forall_{\mathbb R \ni \alpha \in (0, 1)} \exist_{\beta=1-\alpha}\; f(\alpha x+\beta y) < \alpha f(x)+\beta f(y)$ .

Geometryczny sens powyższej nierówności jest następujący: w przedziale $(a, b)$ łuk wykresu funkcji łączący dowolne dwa punkty $P, Q$ tego wykresu leży poniżej lub na cięciwie $P Q$ .

Z określenia funkcji wypukłej wynika, że jest ona ciągła w przedziale $(a, b)$ .

[edytuj] Wklęsłość

Funkcję $f (x)$ ciągłą w przedziale $(a, b)$ nazywamy wklęsłą w tym przedziale, jeżeli w powyższej definicji warunek "poniżej" zastąpimy przez "powyżej". Nierówność powyższa zmieni się na przeciwną.