Para uporządkowana

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Para uporządkowana to struktura złożona z dwóch obiektów matematycznych, w której (w odróżnieniu od zbioru) ustalona jest kolejność tych elementów. Para składająca się z obiektów $a$ i $b$ oznaczana jest przez $\langle a, b \rangle$ lub $(a, b)$ . Formalnie, parę uporządkowaną zdefiniował wybitny polski matematyk, Kazimierz Kuratowski, jako zbiór:

(a, b) = {{a},{a, b}}

Przykładem pary uporządkowanej mogą być współrzędne punktu na płaszczyźnie. Ogólnie, obiektami $a$ i $b$ w parze nie muszą być jednak koniecznie liczby. Przykładem takiej pary uporządkowanej może być formalnie zdefiniowana grupa.

[edytuj] Równość par

Jeśli jednocześnie $a 1 = a 2$ i $b 1 = b 2$ , to oczywiście mamy $(a 1, b 1) = (a 2, b 2)$ . Charakterystyczną cechą pary jest fakt, że mamy też drugą implikację:

Jeśli

(a 1, b 1) = (a 2, b 2)

, to

a 1 = a 2

b 1 = b 2

Pod tym względem para różni się od zbioru dwuelementowego, w którym kolejność elementów nie ma znaczenia i np. ${2,3} = {3,2}$ . W przypadku par: $(2,3)\neq (3,2)$ .

[edytuj] Uzyskanie elementów pary

Niech $P$ będzie parą uporządkowaną $P = (x, y) = {{x},{x, y}}$ . Wówczas:

$\bigcap P = \bigcap \{\{x\},\{x,y\}\} = \{x\}\cap \{x,y\} = \{x\}$ ,

$\bigcup P = \bigcup \{\{x\},\{x,y\}\} = \{x\}\cup \{x,y\} = \{x,y\}$ .

(Zob. przekrój i suma zbiorów.)

A więc $x = \bigcup \{x\} = \bigcup (\bigcap P)$ .
Aby uzyskać $y$ , musimy rozróżnić dwa przypadki:

Jeśli $\bigcup P = \bigcap P$ , to ${x} = {x, y}$ , i $y=x=\bigcup\bigcap P$ .
Jeśli $\bigcup P \not= \bigcap P$ , to $\{x\} \not=\{x,y\}$ , więc $\{y\}=\bigcup P \setminus \bigcap P$ , i $y =\bigcup\{y\}=\bigcup (\bigcup P \setminus \bigcap P)$ .

Możemy teraz udowodnić właściwość charakteryzującą pary: Niech $(a 1, b 1) = P = (a 2, b 2)$ .
Musi zachodzić :

$a_1 = \bigcup (\bigcap P) = a_2$ .

Jeśli $\bigcup P = \bigcap P$ , to $b 1 = a 1$ a także $b 2 = a 2$ , więc $b 1 = b 2$ .
Jeśli natomiast $\bigcup P \not= \bigcap P$ , to

$b_1 = \bigcup (\bigcup P \setminus \bigcap P) = b_2$ .

[edytuj] Związki z innymi pojęciami

Para jest szczególnym przypadkiem n-tki (zwanej też krotką), gdzie n=2.

Zbiór wszystkich par uporządkowanych, których pierwszy element jest elementem pewnego zbioru $X$ , zaś drugi element jest elementem zbioru $Y$ nosi nazwę iloczynu kartezjańskiego zbiorów $X$ i $Y$ i jest oznaczany $X\times Y$ .

Para uporządkowana mimo podobnego zastosowania ma inną definicję formalną niż ciąg skończony dwuelementowy. Ciąg to szczególny przypadek funkcji, a ta relacji, podczas definiowania której używane jest pojęcie iloczynu kartezjańskiego i pary uporządkowanej.