Pierścień (matematyka)

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Artykuł wymaga poszerzenia.
Zajrzyj na stronę dyskusji, by dowiedzieć się czego brakuje i – jeśli jesteś w stanie – uzupełnij braki.

Pierścień w matematyce jest uogólnieniem pojęcia ciała. Idea pierścienia wywodzi się z badania struktur podobnych do zbioru liczb całkowitych, w którym określono dodawanie i mnożenie liczb całkowitych, lecz nie dzielenie. Badaniem własności pierścieni zajmuje się teoria pierścieni.

Spis treści

1 Definicja
2 Przykłady
3 Podpierścienie i ideały
- 3.1 Typy ideałów
- 3.2 Pierścień ilorazowy
4 Morfizmy pierścieni
5 Inne twierdzenia
- 5.1 O odwracalności elementów pierścienia skończonego
  - 5.1.1 Dowód
6 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Niech $R$ oznacza niepusty zbiór, a $+,\;\cdot$ dwuargumentowe działania określone w $R$ .

Strukturę $(R,+,\cdot)$ nazywamy pierścieniem, gdy:

$(R, + )$ jest grupą abelową,
$\forall_{a,b,c \in R}\; [\,a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) \land (b + c) \cdot a = (b \cdot a) + (c \cdot a)]$ (mnożenie jest rozdzielne względem dodawania),
$\forall_{a,b,c \in R}\; a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$ (mnożenie jest działaniem łącznym).

W literaturze spotyka się różne definicje pierścienia; czasem do podanej wyżej definicji dołączane są dodatkowe warunki. Przykładowo, często w definicji wymaga się istnienia elementu neutralnego mnożenia, a czasem wymaga się ponadto, by był on różny od elementu neutralnego dodawania (wyklucza to istnienie pierścienia zerowego). Aczkolwiek jest to praktyka rzadka, część autorów nie umieszcza w definicji pierścienia trzeciego z podanych wyżej warunków (warunku łączności mnożenia), a pierścienie spełniające ten warunek nazywa pierścieniami łącznymi. W dalszej części artykułu przyjmuje się jednak definicję podaną wyżej.

[edytuj] Typy pierścieni

Wyróżnijmy poniższe własności działań pierścieni:

$\forall_{a,b \in R}\; a \cdot b = b \cdot a$
$\exists_{e \in R} \forall_{a \in R}\; a \cdot e = e \cdot a = a$ (e - element neutralny mnożenia)
$\forall_{a \in R\backslash\{e_+\}}\, \exists_{b \in R}\; ab=e$ (e₊-element neutralny dodawania).
$\forall_{a,b \in R\backslash\{e_+\}} \,a \cdot b \neq e_+$

Pierścienie, które spełniają powyższe własności, mają swoje specyficzne nazwy:

pierścień spełniający własność pierwszą nazywamy pierścieniem przemiennym,
własność drugą – pierścieniem z jedynką; własność ta jest często dołączana do definicji pierścienia,
pierścień, który spełnia własności drugą i trzecią nazywamy pierścieniem z dzieleniem,
pierścień spełniający własność czwartą – pierścieniem bez dzielników zera,
pierścień, który spełnia własności pierwszą, drugą oraz czwartą nazywamy dziedziną całkowitości,
pierścień spełniający własności drugą, trzecią i czwartą to ciało skośne (niekiedy także ciało),
wreszcie pierścień, który spełnia wszystkie powyższe własności to ciało.

W praktyce najczęściej rozpatruje się niezerowe (czyli zawierające co najmniej dwa różne elementy) pierścienie przemienne z jedynką.

Ponadto, ze względu na inne własności, wyróżnia się następujące typy pierścieni:

[edytuj] Wyróżnione elementy

Element neutralny dodawania w pierścieniu zazwyczaj nazywamy zerem pierścienia i oznaczamy przez $0$ . Każdy pierścień ma dokładnie jedno zero. Jest ono elementem neutralnym grupy abelowej $(R, + )$ .

Każdy element pierścienia ma dokładnie jeden element przeciwny względem dodawania. Element przeciwny do $a$ oznaczamy zazwyczaj przez $- a$ .

Element neutralny mnożenia w pierścieniu (o ile istnieje) nazywamy zazwyczaj jedynką pierścienia i oznaczamy przez $1$ . Pierścień może mieć co najwyżej jedną jedynkę. Jeżeli jedynka istnieje, jest elementem neutralnym monoidu $(R,\cdot)$ .

Element $a$ pierścienia nazywamy dzielnikiem zera, gdy istnieje taki element $b$ tego pierścienia, że $a\cdot b=0$ .

Element odwrotny względem mnożenia (o ile istnieje) do elementu $a$ pierścienia nazywamy zwykle odwrotnością $a$ i oznaczamy $a - 1$ .

[edytuj] Podstawowe własności działań

Z zawartych w definicji warunków wynikają następujące własności działań w pierścieniu (w twierdzeniach poniższych przyjmujemy, że $R$ jest dowolnym pierścieniem:

łączność dodawania (mnożenia) dla dowolnej liczby składników (czynników) – wynika z łączności w grupie addytywnej,
rozdzielność mnożenia względem sumy dowolnej liczby składników (tzn. dla $a,b_1,b_2,\dots,b_k\in R$ mamy $a(b_1+b_2+\cdots +b_k)=ab_1+ab_2+\cdots +ab_k$ – na podstawie indukcji matematycznej,
$\forall_{a\in R}\; a\cdot 0 = 0\cdot a = 0$ ,
$\forall_{a,b\in R}\; a\cdot (-b)=(-a)\cdot b=-(a\cdot b)$ , a stąd $( - a)( - b) = a b$ ,
$\forall_{a,b,c\in R}\; a\cdot (b-c)=a\cdot b-a\cdot c$ i $(b-c)\cdot a=b\cdot a-c\cdot a$ .

[edytuj] Przykłady

Pierścieniami są:

zbiór liczb całkowitych z naturalnymi działaniami $+,\;\cdot$ ,
dowolne ciało,
wielomiany o współczynnikach całkowitych,
ciało (nieprzemienne) kwaternionów,
zbiór potęgowy danego zbioru $X$ z działaniem różnicy symetrycznej (jako dodawaniem) i przekroju zbiorów (jako mnożeniem), czyli tzw. algebra Boole'a,
pierścień liczb całkowitych Gaussa: $\mathbb{Z}[i] = \{a + ib| a,b \in \mathbb{Z}\}$ z działaniami dodawania i mnożenia liczb zespolonych,
pierścień Z_n,
pierścień trywialny,
pierścień zerowy.

[edytuj] Podpierścienie i ideały

Niech $(R,+,\cdot)$ będzie pierścieniem.

Dowolny podzbiór $S\subseteq R$ nazywamy podpierścieniem pierścienia $R$ , gdy jest on pierścieniem ze względu na działania $+, \cdot$ zacieśnione do zbioru $S$ . W praktyce dla stwierdzenia, czy $S$ jest podpierścieniem $R$ wystarczy sprawdzić, czy spełnione są dwa następujące warunki:

$\forall_{a,b\in S}\; a-b\in S$ ,
$\forall_{a,b\in S}\; (a\cdot b\in S \and b\cdot a\in S)$ .

Dowolny podzbiór $I\subseteq R$ nazywamy ideałem pierścienia $R$ , gdy spełnione są dwa warunki:

$\forall_{a,b\in I}\; a-b\in I$ ,
$\forall_{a\in I, x\in R}\; (x\cdot a\in I \and a\cdot x\in I)$ .

W pierścieniach nieprzemiennych wyróżnia się ponadto ideały lewostronne i prawostronne, czyli takie podzbiory $R$ , dla których spełniony jest pierwszy warunek i odpowiednio pierwsze lub druge zdanie koniunkcji $(x\cdot a\in I \land a\cdot x\in I)$ drugiego warunku.

Oczywiście każdy ideał jest podpierścieniem.

[edytuj] Typy ideałów

W dowolnym pierścieniu nietrywialnym $R$ istnieją co najmniej dwa różne ideały: $R$ i ${0}$ (w przypadku pierścienia trywialnego są one sobie równe). Nazywamy je ideałami trywialnymi. Wszystkie pozostałe ideały nazywamy ideałami właściwymi.

Ze względu na inne własności wyróżnia się następujące rodzaje ideałów:

[edytuj] Pierścień ilorazowy

Niech $(R,+,\cdot)$ będzie dowolnym pierścieniem, a $I\subseteq R$ dowolnym jego ideałem. Zbiór ilorazowy $R / I$ z działaniami $\oplus, \otimes$ określonymi:

$[a]\oplus [b]=[a+b]$ ,

$[a]\otimes [b]=[a\cdot b]$

jest pierścieniem, który nazywamy pierścieniem ilorazowym pierścienia $R$ przez ideał $I$ .

[edytuj] Morfizmy pierścieni

Niech $(R,+,\cdot), (S,\oplus,\otimes)$ będą dowolnymi pierścieniami.

Homomorfizmem pierścieni $R$ i $S$ nazywamy dowolne odwzorowanie $h:R\to S$ takie, że $h(a+b)=h(a)\oplus h(b)$ oraz $h(a\cdot b)=h(a)\otimes h(b)$ .
Monomorfizmem nazywamy homomorfizm różnowartościowy.
Epimorfizmem nazywamy homomorfizm typu "na".

[edytuj] Obraz homomorfizmu

Obrazem homomorfizmu $h:R\to S$ nazywamy zbiór $\operatorname{Im}h=\{a\in S: \exists_{b\in R} a=h(b)\}$ , czyli zbiór takich elementów $S$ , które są wartościami odwzorowania $h$ na co najmniej jednym elemencie zbioru $R$ .

Homomorfizm $h:R\to S$ jest epimorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy $\operatorname{Im}h=S$ .

Obraz homomorfizmu $h:R\to S$ jest podpierścieniem pierścienia $S$ .

[edytuj] Jądro homomorfizmu

Jądrem homomorfizmu $h:R\to S$ nazywamy zbiór $\operatorname{Ker}h=\{a\in R: h(a)=0_S\}$ (gdzie $0 S$ oznacza zero pierścienia $S$ ).

Homomorfizm $h:R\to S$ jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy $\operatorname{Ker}h={0_R}$ (gdzie $0 R$ oznacza zero pierścienia $R$ ).

Jądro homomorfizmu $h:R\to S$ jest ideałem pierścienia $R$ .

[edytuj] Izomorfizm

Homomorfizm $h:R\to S$ nazywamy izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy $h$ jest wzajemnie jednoznaczne, to znaczy gdy jest jednocześnie monomorfizmem i epimorfizmem. Odwzorowanie $h - 1$ istnieje (ponieważ $h$ jest wzajemnie jednoznaczne) i również jest izomorfizmem.

Mówimy, że pierścienie $R$ i $S$ są izomorficzne, gdy istnieje izomorfizm $h:R\to S$ (lub, równoważnie, izmorfizm $g:S\to R$ ) i oznaczamy $R ˜ S$ . W dowolnym zbiorze pierścieni relacja $\sim$ izomorficzności jest relacją równoważności.

[edytuj] Homomorfizm kanoniczny

Niech $R$ będzie dowolnym pierścieniem, zaś $I\subseteq R$ dowolnym jego ideałem. Odwzorowanie $h:R\to R/I$ określone $h (a) = [a]$ jest epimorfizmem. Takie odwzorowanie $h$ nazywamy homomorfizmem kanonicznym pierścienia $R$ na pierścień ilorazowy $R / I$ .

Zachodzi następujące twierdzenie, zwane podstawowym twierdzeniem o homomorfizmie pierścieni:

Jeśli $h:R\to S$ jest epimorfizmem pierścieni $R, S$ , to $S$ jest izomorficzny z pierścieniem ilorazowym $R/\operatorname{Ker}h$ (izomorfizmem jest odwzorowanie $g:R/\operatorname{Ker}h\to S$ określone $g ([a]) = h (a)$ ) oraz $h=g\circ f$ , gdzie $f:R\to R/\operatorname{Ker}h$ jest homomorfizmem kanonicznym.

[edytuj] Inne twierdzenia

[edytuj] O odwracalności elementów pierścienia skończonego

W pierścieniu skończonym każdy element jest odwracalny albo jest dzielnikiem zera.

[edytuj] Dowód

W pierścieniu mamy elementy $\{0, a_0=1,a_1,...,a_n\}.\$ Załóżmy, że element $a_i\$ nie jest ani odwracalny, ani nie jest dzielnikiem zera. Rozważmy następnie $n+1\$ iloczynów postaci $a_{i} \cdot a_{j}$ , gdzie $j\$ jest niemniejsze od zera i nie większe od $n,\$ a $a_0 = 1.\$ Otrzymujemy $n+1\$ wyników – musi zajść więc jeden z następujących warunków:

jeden z iloczynów jest równy jeden – $a_i\$ jest odwracalne,
jeden z iloczynów jest równy zero – $a_i\$ jest dzielnikiem zera,
dwa iloczyny są sobie równe dla różnych wartości $j\$ (np. $g, h\$ ). Ale wówczas korzystając z własności dodawania i aksjomatu 2 pierścienia otrzymujemy: