Rozkład logistyczny

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Gęstość i dystrybuanta rozkładu logistycznego o parametrach α=0 i β=0,5.

Gęstość i dystrybuanta rozkładu logistycznego o parametrach α=0 i β=1,5.

Rozkład logistyczny to rozkład ciągły prawdopodobieństwa, używany w szczególonści do opisu analityczengo procesów wzrostu osiągających stan wysycenia.

Rozkład logistyczny ma jako podstawę funkcję logistyczną

$l(x) = \frac {g}{1+d \cdot e^{-cx}},$

$g\,$ wyznacza przy tym granicę wysycenia. Normalizując funkcję logistyczną przez podstawienie $g=1 \$ , uzyskujemy funkcję opisującą rozkład logistyczny. Zazwyczaj stosuje się dalsze podstawienia:

$e^\frac {\alpha}{\beta} = d$ oraz

$\frac {1}{\beta} = c$ .

[edytuj] Definicja

Ciągła zmienna losowa $X\,$ ma rozkład logistyczny o parametetrach $\alpha\,$ i $\beta\,$ , $\beta > 0\,$ , jeżeli gęstość jest opisywana przez funkcję:

$f(x) = \frac{e^{-\frac{x-\alpha}{\beta}}}{\beta \left( 1 + e^{-\frac{x-\alpha}{\beta}} \right)^2}$ .

a co za tym idzie dystrybuanta ma postać

$F(x) = \frac{1}{1 + e^{-\frac{x-\alpha}{\beta}}}$ .

[edytuj] Właściwości

[edytuj] Symetria

Logistyczna zmienna losowa jest symetryczna względem wartości oczekiwanej $\alpha\,$ , który jest jednocześnie medianą rozkładu.

[edytuj] Wartość oczekiwana

Wartość oczekiwana rozkładu logistycznego wynosi:

$\operatorname{E}(x)=\alpha$ .

[edytuj] Wariancja

Wariancja wynosi:

$\operatorname{Var}(x)=\frac{\beta^2 \pi^2}{3}$ .

[edytuj] Kwantyle

Do obliczenia kwantyli można użyć funkcji odwrotnej:

$F^{-1}(p) = \alpha - \beta \ln \left(\frac{p}{1-p}\right)$ .

[edytuj] Zastosowanie

Przy pomocy rozkładu logistycznego opisuje się w statystyce czas trwania jakiegoś stanu, np. trwałość urządzeń elektronicznych. Dalej używa się rozkładu również do estymacji wskaźnika struktury dychotomicznej zmiennej w tzw. regresji Logit. Często stosuje się w statystyce wszakże również funkcję logistyczną, np. w nielinioej metodzie najmniejsczych kwadratów do estymacji szeregów czasowych.

[edytuj] Przykład

Na podstawie długoletniego doświadczenia wiadomo, że czas niezawodnego działania elektrycznych szczoteczek do zębów pewnego producenta opisuje dobrze rozkład logistyczny z wartością oczekiwaną 8 lat i wariancją σ² = 4 lata² . Można więc zapisać

$\alpha =8\,$ oraz

$\beta = \frac {\sigma \cdot \sqrt 3} {\pi} = \frac {2 \cdot \sqrt 3} {\pi} \approx 1{,}10$ .

Tak na przykład prawdopodobieństwo, że szczoteczka do zębów będzie działać przez ponad dziesięć lat wynosi:

$P(X > 10) = 1 - P(X \leq 10)= 1 - \frac {1} {1+e^{-\frac {10-8} {1,1}}} = 1 - 0{,}8538 = 0{,}1462$ .

A więc ok. 15 % wszystkich szczoteczek będzie działać co najmniej dziesięć lat.

Poszukajmy teraz okresu, po jakim 99,95 % wszystkich szczoteczek działa niezawodnie.

$F^{-1}(0{,}0005) \approx 8 - 1{,}10 \ln \frac{1 - 0{,}0005}{0{,}0005} \approx -0{,}36044$ .

Odpowiedź jest absurdalna: ok. 4 miesięcy przed wyprodukowaniem. W tym przykładzie przyjęto, że czas niezawodnego działania szczoteczek do zębów w szerokim zakresie (ale nie w całym $\mathbb{R}$ ) jest dobrze opisywany przez teeoretyczny rozkład (logistyczny) zmiennej losowej.