龐加萊猜想

出自維基百科，自由嘅百科全書

[編輯] 問題

Jules Henri Poincare係1904猜想:

任何一個三維流形, 如果渠嘅所有同倫群都同三維球面嘅同倫群無分別(第一同第二個同倫群都要係零),噉渠就同三維球面同胚--即係係拓撲學上無分別.

阿Jules Henri 本係1900年希望同調群零 (唔使同倫群零,一個弱o的嘅條件)就夠, 但渠自己好快發現o左個反例--著名嘅龐加萊同調球(又叫正十二面體空間).

問題可簡化成

任何一個三維流形, 如果渠係一個單連通流形(即渠上面所有閉曲線都可縮成一點),噉渠就同三維球面同胚.

[編輯] 龐加萊猜想難係邊道?

可能因為條問題太簡單,所以難入手. 雖然渠嘅高維數姐妹題, 分別由兩位天才 Stephen Smale(五維以上,1960's) 同Michael Freedman(四維,1982)解決; 但係o個的方法o係三維行唔通. (想知詳情嘅讀者可問一問丘成桐教授)

[編輯] William Thurston出場: 三維流形幾何化構想

70年代, William Thurston 提出: 任何一個三維流形都可以被切成幾舊,每舊都屬於渠指定嘅八種類型幾何之一.

龐加萊猜想係幾何化構想嘅特例;

(Geometrization Conjecture => Poincare's Conjecture).

[編輯] 幾何化猜想靚係邊道?

讀者可問一問Dennis Sullivan老師.

[編輯] Richard Hamilton出場: Ricci流

$\partial_t g_{ij}=-2 R_{ij}$

Hamilton嘅構想唔太難理解。渠要個三維流形嘅度量 gij沿一特定方向變化 (即係Ricci流; "Ricci"指Ricci張量Rij; 可變量 t 係「時間」),嘗試令到個三維流形平平均均, 睇渠到極限時變成點樣. 但一邊平另一邊又可能會突起, 所以中途可能會產生奇異集 (singularity), 噉就要切開渠. 到最後, 你會得到三維流形嘅自然分解, 實現 Thurston 嘅構想.

但實行起來就有好多技術問題. 例如:中途會產生邊種奇異集? 點樣控制? 想知詳情嘅讀者可問一問專家.(例如,寫個電郵畀Grisha).

[編輯] Grisha Perelman 出場: 塌縮控制/regularity估計?

係2002年,聖彼得堡Steklov數學院嘅Grigory Perelman(一位研究Alexandroff空間同埋Ricci流嘅專家)係www.arXiv.org出o左篇文章,入面p.3話:

"...the implementation of Hamilton program would imply the geometrization conjecture for closed three-manifolds....In this paper we carry out some details of Hamilton program."

Grisha後又來登o左兩篇文章補充, 但到底渠有無完全證明龐加萊猜想,就好難講; 渠短短三篇文,非常難理解,好多專家研究到現今, 先至出o左幾篇幾百頁嘅論文. 總之,渠貢獻好大,好關鍵.

Grisha係2003年春天, 訪問o左麻省理工學院一個星期,跟住訪問紐約石溪州立大學兩個星期, 講o左十幾場報告.

值得一提: Grisha嘅一o的構築嘅啟發來自量子場論、重整群理論 (見p.3, The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, Gregory Perelman, November,2002 ); 但渠無詳細講清楚.