Objętość (matematyka)

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Objętość jest miarą "ilości" przestrzeni. Może to być zarówno miara przestrzeni pustej, jak i miara przestrzeni zajmowanej przez określony obiekt.

Spis treści

1 Konstrukcja pojęcia objętości
2 Objętość pod powierzchnią
3 Jednostki objętości
4 Wyznaczanie objętości brył obrotowych
5 Zobacz też

[edytuj] Konstrukcja pojęcia objętości

W matematyce objętość najprościej zdefiniować w następujący sposób:

Pokrywamy całą przestrzeń siatką przylegających sześcianów o bokach $a 1$ .
Liczbę sześcianów, które mają choćby jeden punkt wspólny z bryłą lub obszarem przestrzeni, którego objętość chcemy policzyć oznaczmy przez $n 1$ .

Tworząc rozmaite siatki sześcianów o coraz to mniejszych bokach $a 2 < a 1$ , $a 3 < a 2$ , itd. uzyskamy ciąg liczb $n 1, n 2,...$ . Objętością nazywamy granicę:

$V=\lim_{i \to \infty}n_i~a_i^3$ .

Granica ta nie zawsze istnieje. Jeśli nie istnieje, objętości nie da się obliczyć tą metodą.

Co więcej, konstrukcja ta ma jeszcze jedną wadę – choć dobrze sprawdza się w typowych wypadkach, jednak nie posiada podstawowej własności, która intuicyjnie powinna charakteryzować objętość: objętość dwóch nie nachodzących na siebie brył może być większa niż objętość bryły powstałej z ich połączenia.

Przykład: zbiory

$\{(x,y,z) \in \mathbb Q^3: 0, x, y, z<1\}$

oraz

$\{(x,y,z): 0<x, y, z<1 \and x \in I\mathbb Q \or y \in I\mathbb Q \or z \in I\mathbb Q\}$

mają obydwa objętości równe jeden, mają pusty przekrój, a ich suma (czyli wnętrze sześcianu) również ma objętość równą jeden.

Udowodniono jednak, iż nie istnieje żadna nietrywialna funkcja, którą dałoby się zmierzyć dowolną bryłę i która dla dwóch rozłącznych brył dawałaby wynik równy ich sumie.

Zobacz więcej w osobnym artykule: Miara Lebesgue'a.

[edytuj] Objętość pod powierzchnią

Objętość między powierzchnią daną równaniem $z = f (x, y)$ , a płaszczyzną $O X Y$ w obszarze $x 1 < x < x 2, y 1 < y < y 2$ jest równe całce podwójnej

$V=\int\limits_{x_1}^{x_2}\int\limits_{y_1}^{y_2}|f(x,y)|dy~dx$ .

[edytuj] Jednostki objętości

Jednostki objętości "konstruuje" się w ten sposób, że buduje się hipotetyczny sześcian o długości krawędzi odpowiadających jednostce długości w danym systemie miar. W układzie SI jednostką objętości jest sześcian o boku 1 metra, czyli metr sześcienny.

[edytuj] Wyznaczanie objętości brył obrotowych

Jeżeli dana jest pewna funkcja $y = f (x)$ ciągła w jakimś przedziale $(m, n)$ , gdzie $p,q \in (m,n)$ , to objętość były powstałej w wyniku obrotu wokół osi $O X$ obszaru pod wykresem funkcji na przedziale $[p, q]$ wyraża się wzorem:

$V = \pi \int\limits^q_p~{\left(f(x)\right)^2 dx}$ .

Dla przykładu wyprowadzimy teraz wzór na objętość stożka. W tym celu wybierzmy pewną funkcję $f (x) = a x$ , przy czym $a > 0$ . Dzięki temu, że $a$ przyjmuje różne wartości, będziemy mogli za jednym razem rozpatrzyć stożki o różnym kącie rozwarcia.

Obierzmy punkty $p = 0$ , $q = h$ . Bierzemy pod uwagę przedział $[p, q]$ . Ponieważ stożek otrzymujemy poprzez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z przyprostokątnych (jest to zarazem wysokość tego trójkąta i wysokość stożka), wysokość będzie leżała na osi $O X$ . Będzie ona mieć długość $q - p = h - 0 = h$ . Wierzchołek stożka znajdzie się w punkcie $(0,0)$ . Z kolei promień podstawy będzie mieć długość równą $f (h) = a h = r$ . Z tego wynika, że $a={r \over h}$ . Możemy tak napisać, gdyż na pewno $h \ne 0$ . Przeprowadźmy całkowanie:

$V=\pi \int\limits^q_p [f(x)]^2 dx = \pi \int\limits^q_p (ax)^2 dx = \pi \int\limits^q_p a^2 x^2 dx = \pi a^2 \int\limits^q_p x^2 dx = \pi a^2 \left[{x^3 \over 3} \right]^q_p = \pi \left({r \over h} \right)^2 \left[{{q^3 - p^3} \over 3} \right]=$

$=\pi {r^2 \over h^2} {{h^3 - 0^3} \over 3} = \pi \frac{r^2 h^3}{3 h^2} = \frac{\pi r^2 h}{3}$ .

Otrzymaliśmy dobrze znany wzór na objętość stożka. Wyszło na to, że wartość parametru $a$ , a więc i kąt rozwarcia stożka, nie ma wpływu na wynik końcowy. Tym sposobem możemy wyprowadzać wzory na objętość innych brył obrotowych. Trzeba tylko pamiętać o tym, że:

długość przedziału $[p, q]$ , który bierzemy pod uwagę, to wysokość bryły obrotowej $h = q - p$ ;
wartości, jakie przyjmuje funkcja dla liczb będących końcami przedziału, to długości promieni podstaw $f(p)=r_1,\; f(q)=r_2$ .

Przy niektórych funkcjach możemy otrzymać naprawdę zaskakujące rezultaty. Rozważmy funkcję $f(x)={a \over x}$ , o której można by pomyśleć, iż wzór będzie dość skomplikowany, tymczasem ma on postać $V = π r 1 r 2 h$ . Z kolei dla funkcji $f(x)=v a^{wx}, 0 < a,v,w \in \mathbb R$ otrzymamy zaś taki oto interesujący wzór: