Przedział wielowymiarowy

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Przedział wielowymiarowy (kostka wielowymiarowa) – podzbiór wielowymiarowej przestrzeni euklidesowej będący odpowiednikiem przedziału na prostej.

Spis treści

1 Definicja formalna
- 1.1 Uwagi
2 Objętość
- 2.1 Uwagi
3 Bibliografia
4 Zobacz też

[edytuj] Definicja formalna

Przedziałem $k$ -wymiarowym (przedziałem) $P^{(k)} \subseteq \mathbb R^k$ nazywamy zbiór postaci

$P^{(k)} = P_1 \times \dots \times P_k$ ,

gdzie $P_1, \dots, P_k$ są przedziałami w $\mathbb R$ .

[edytuj] Uwagi

Z powyższej definicji wynika więc, iż również punkt jest przedziałem $k$ -wymiarowym $(k = 0)$ . Zatem wśród przedziałów istnieją tzw. przedziały zdegenerowane, czyli takie dla których $P i$ dla pewnego $i \in \{1, \dots, k\}$ w powyższej definicji jest punktem.

Często ze względów technicznych przyjmuje się, iż zbiór pusty również jest przedziałem wielowymiarowym (wtedy $k = - 1$ ).

[edytuj] Objętość

Objętością $k$ -wymiarową (objętością) przedziału $P \subset \mathbb R^k$ nazywamy iloczyn długości przedziałów jednowymiarowych, których produkt jest rozpatrywanym przedziałem:

$|P|_k=|P_1| \dots |P_k|$ ,

gdzie przez $|\cdot|$ rozumieć będziemy długość przedziału jednowymiarowego, zaś przez $|\cdot|_k$ — $k$ -wymiarowego. Jednak dla wygody indeks $k$ jest często pomijany.

[edytuj] Uwagi

Dla $k \ge 2$ przedział $P k$ może być zarazem nieograniczony jak i zdegenerowany. Wtedy wartość iloczynu definiującego objętość jest nieokreślona, gdyż występują w nim czynniki $0$ oraz $+ \infty$ . Rozpatrzmy prostą $\{(x, 0): x \in \mathbb R\}$ . Jest ona nieograniczna i zdegenerowana, jednak naturalnym wydaje się nam fakt, iż jej dwuwymiarowa objętość (pole) winno wynosić zero. Naturalna jest więc następująca umowa:

$0 \cdot (\pm \infty) = (\pm \infty) \cdot 0 = 0$ .

Powyższa umowa obowiązuje w całej teorii miary i całki Lebesgue'a, oczywiście pozostałe konwencje działań arytmetycznych na liczbach nieskończonych nie ulegają zmianie w stosunku do tych dotyczących granic funkcji.

Dodatkową umową jest również $|\emptyset| = 0$ . Łatwo też widać, że taka objętość jest monotoniczna: dla przedziałów $P, P^' \in \mathbb R^n$ mamy