Przestrzeń unormowana

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Normą w przestrzeni liniowej $V\;$ nad ciałem $K\in\{\mathbb{Q}, \mathbb{R},\mathbb{C}\}$ nazywamy odwzorowanie $\|\cdot\|\colon V\longrightarrow [0,\infty)$ spełniające, dla dowolnych $\alpha\in K$ oraz $u, v\in V$ , następujące warunki:

$\Vert v\Vert\geq 0$ , $\Vert v\Vert= 0\iff v=0$ ,
$\Vert\alpha v\Vert = |\alpha| \cdot \Vert v\Vert$ ,
$\Vert u + v\Vert \leq \Vert u\Vert + \Vert v\Vert$ .

Parę $(V, \|\cdot\|)$ nazywamy wówczas przestrzenią unormowaną.

Spis treści

1 Metryka w przestrzeni unormowanej
2 Norma w przestrzeni unitarnej
3 Przykłady
4 Normy macierzowe
- 4.1 Norma Frobeniusa
- 4.2 Norma spektralna
5 Unormowane grupy abelowe
- 5.1 Definicja normy grupy abelowej
6 Zobacz też

[edytuj] Metryka w przestrzeni unormowanej

Jeśli $(X, \|\cdot\|)$ jest przestrzenią unormowaną, to można w niej zdefiniować metrykę $d$ jako:

$d(x,y)=\|x-y\|$

dla dowolnych $x,y\in X$ . Metrykę tę nazywamy generowaną albo indukowaną przez normę przestrzeni $X$ .

[edytuj] Norma w przestrzeni unitarnej

Jeśli $X$ jest przestrzenią unitarną z iloczynem skalarnym oznaczonym jako $\langle\cdot, \cdot\rangle$ , to można w niej zdefiniować normę wektora $x$ jako:

$\| x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle}.$

Normę taką określamy mianem generowanej bądź indukowanej przez iloczyn skalarny. Dla normy takiej spełniona jest tożsamość równoległoboku:

$2\Vert x\Vert ^2 + 2\Vert y\Vert ^2 = \Vert x + y\Vert ^2 + \Vert x - y\Vert ^2.$

Jeżeli w przestrzeni nie jest spełniona tożsamość równoległoboku, to przestrzeń nie jest unitarna.

[edytuj] Przykłady

W przestrzeni euklidesowej $\mathbb{R}^{n}$ norma euklidesowa zdefiniowana jest jako

$\|[x_1 ,x_2 \ldots x_n]\|=\sqrt{|x_1|^2+|x_2|^2+\ldots+|x_n|^2}$

W $\mathbb R^n$ normę możemy zdefiniować jako

$\|[x_1 ,x_2 \ldots x_n]\| = \max_{1\leq i\leq n}(|x_i|)$ . Często oznaczamy tę normę symbolem $\|\cdot\|_{\infty}$ .

Niech $H$ będzie przestrzenią Hilberta. Wówczas normę w przestrzeni sprzężonej $H^\star$ określa się jako

$\|y^\star\| = \sup \{ \|y^\star(x)\|: x \in H, \|x\|=1\}$

$C [0,1]$ - przestrzeń funkcji ciągłych na przedziale $[0,1]$ . Normę można zdefiniować jako:

$\|f(x)\|_{C[0,1]} = \max_{x \in [0,1]}|f(x)|$

[edytuj] Normy macierzowe

Normą macierzową nazywamy normę przestrzeni $\mathbb{R}^n_n$ lub $\mathbb{C}^n_n$ , spełniającą dodatkowo warunek

$\| AB \| \leq \| A \| \cdot \| B \|$

dla wszelkich macierzy $A,B\in \mathbb{R}^n_n$ (względnie $\mathbb{C}^n_n$ ).
Przestrzeń macierzy z normą macierzową jest algebrą Banacha.
Poniżej $A^\star=\overline{A}^T$ oznacza transpozycję macierzy trywialnie sprzężonej.

[edytuj] Norma Frobeniusa

Bezpośrednie uogólnienie normy euklidesowej. Definiowana jako

$\|A\|_F = \sqrt{\langle A,A\rangle}=\sqrt{\operatorname{tr}(A^\star A)}$

gdzie $\operatorname{tr}(A)$ jest śladem macierzy $A$ .

[edytuj] Norma spektralna

$\left \| A \right \| _{\rm{sp}}=\sqrt{\max\{\lambda\colon \lambda\in \operatorname{sp}(A^\star A)\}}$

gdzie $\operatorname{sp}(A)$ jest widmem macierzy $A$ .

Własności:

$\| A \| _{\rm{sp}} \ge \rho(A)$ , gdzie $ρ(A)$ jest promieniem spektralnym $A$ .
$\lim_{r\to\infty}\sqrt[r]{\| A^r \| _{\rm{sp}}}=\rho(A).$

[edytuj] Unormowane grupy abelowe

Pojęcie normy można przenieść na grunt teorii grup abelowych. Oczywiście, odmienność struktury przestrzeni liniowej a grupy abelowej wymaga modyfikacji drugiego aksjomatu normy. Jednak obydwa odwzorowania - normy przestrzeni liniowej i normy grupy abelowej - mają wiele korespondujących ze sobą własności i dlatego są ciekawe z punktu widzenia matematyków.