Ślad macierzy

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy
macierz jednostkowa
macierz zerowa
macierz elementarna
macierz schodkowa
macierz trójkątna
macierz symetryczna
macierz diagonalna
macierz idempotentna
macierz nilpotentna
macierz hermitowska
macierz unitarna
macierz ortogonalna
(!) macierz dopełnień algebraicznych
(!) macierz dołączona
więcej...

Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie
mnożenie macierzy
potęgowanie macierzy
odwracanie macierzy
diagonalizacja macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne

Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

W algebrze liniowej, ślad macierzy kwadratowej $A$ stopnia $n$ definiujemy jako sumę elementów na jej głównej przekątnej:

$\operatorname{tr}(A) = a_{11} + a_{22} + ... + a_{nn}$ .

Stosowane są również oznaczenia: $\operatorname{Tr}(A)$ lub $\operatorname{trace}(A)$ .

[edytuj] Właściwości

Ślad jest operatorem liniowym:
- $\operatorname{tr}(A + B) = \operatorname{tr}(A) + \operatorname{tr}(B)$ (addytywność),
- $\operatorname{tr}(rA) = r\operatorname{tr}(A)$ (jednorodność),

dla dowolnych macierzy $A, B \in M_n(K)$ i skalara $r \in K$ .

Ponieważ przekątna główna macierzy nie ulega zmianie przy transpozycji, ślad macierzy transponowanej jest równy śladowi macierzy danej:

$\operatorname{tr}(A) = \operatorname{tr}(A^T)$ .

Jeśli $A \in M_{n \times m}, B \in M_{m \times n}$ , to

$\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ .

Wynika stąd, że dla dowolnej odwracalnej macierzy $P\$

$\operatorname{tr}(P^{-1}AP) = \operatorname{tr}(PP^{-1}A) = \operatorname{tr}(A)$ .

Pozwala to zdefiniować ślad przekształcenia liniowego $f: V \to V$ (gdzie $V$ jest skończeniewymiarową przestrzenią wektorową) jako ślad jego macierzy w dowolnej bazie.

Jeśli $A\$ jest macierzą $n \times n$ , a $\lambda_1, \cdots, \lambda_n$ są jej wartościami własnymi, to:

$\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^n \lambda_i$ .

Wynika to z faktu, że

A

można przekształcić przez podobieństwo (za pomocą operacji elementarnych) do postaci Jordana, w której wartości własne znajdują się na głównej przekątnej.

Ten artykuł wymaga dopracowania.
Należy w nim poprawić: Co to jest exp(A)? W tekście nie jest opisane....
Więcej informacji co należy poprawić, być może znajdziesz na odpowiedniej stronie. W pracy nad artykułem należy korzystać z zaleceń edycyjnych. Po naprawieniu wszystkich błędów można usunąć tę wiadomość.
Możesz także przejrzeć pełną listę stron wymagających dopracowania.

Bezpośrednią konsekwencją powyższego jest zależność:

$\det(\exp(A)) = \exp(\operatorname{tr}(A))$ .