Zbiór skończony
Z Wikipedii
Zbiór skończony - oznacza w matematyce zbiór równoliczny ze zbiorem {1, 2, ..., n} dla pewnej liczby naturalnej n. Definicja ta obejmuje również zbiór pusty, wystarczy przyjąć n = 0.
Niezależnie od przyjmowanej definicji zbioru skończonego (dalej), zbiór nieskończony określamy jako zbiór, który nie jest skończony.
Spis treści |
[edytuj] Inne określenia
W "życiu realnym" mamy do czynienia wyłącznie ze zbiorami skończonymi. Przedmioty należące do takich zbiorów zawsze można policzyć - polega to na oznaczaniu kolejnych przedmiotów zbioru kolejnymi liczbami naturalnymi w taki sposób, by każdy przedmiot oznaczony był dokładnie jedną liczbą; oczywiście, w "życiu" proces ten zawsze się kończy. Podana wyżej definicja (N) zbioru skończonego jest matematycznym ujęciem opisanej procedury.
Okazuje się jednak, że skończoność zbioru można definiować również na inne sposoby.
- (T): zbiór S jest skończony wtedy i tylko wtedy, gdy każda niepusta rodzina jego podzbiorów ma element maksymalny. Jest to określenie pochodzące od Tarskiego. Ma ono tę zaletę, że pozwala zdefiniować skończoność bez znajomości pojęcia liczby naturalnej.
- (D): zbiór S jest skończony wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest równoliczny z żadnym swoim podzbiorem właściwym. Innymi słowy: nie istnieje funkcja g:S → S, która byłaby różnowartościowa, lecz nie na S. To określenie zbioru skończonego pochodzi od Dedekinda i podobnie jak określenie Tarskiego nie odwołuje się do pojęcia liczby naturalnej. Z powodu swej intuicyjności, w XIX wieku było niemal powszechnie przyjmowane jako równoważne definicji (N).
- (D'): zbiór S jest skończony wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje iniekcja g ze zbioru
w zbiór S.
[edytuj] Skończoność w sensie Dedekinda a aksjomat wyboru
Powstaje pytanie, jak ma się definicja (N) zbioru skończonego do definicji (T) i (D)? W teorii mnogości z aksjomatyką Zermelo-Fraenkela (ZF) bez aksjomatu wyboru można udowodnić następujące równoważności:
- (N) ⇔ (T)
- (D) ⇔ (D')
- (N) ⇒ (D) (przez indukcję matematyczną)
Dowód równoważności (D) ⇒ (N) wymaga jednak użycia aksjomatu wyboru. Bez niego nie da się udowodnić, że każdy zbiór skończony w sensie Dedekinda jest skończony w sensie (N).
[edytuj] Przykłady
Zbiór liczb naturalnych N jest równoliczny ze zbiorem liczb parzystych, który jest jego właściwym podzbiorem. Równoliczność ustala funkcja n→2n.
Podobnie, zbiór liczb rzeczywistych jest równoliczny z podzbiorem liczb rzeczywistych dodatnich – odpowiednią funkcją jest np. x→2x.
Oznacza to, że zbiory i 
są nieskończone w sensie Dedekinda.
