Funkcja addytywna

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Ten artykuł dotyczy matematyki. Zobacz też: addytywność w fizyce.

Addytywność – własność funkcji przypisującej obiektom matematycznym wartości liczbowe tak, by wartość przypisana obiektowi była równa sumie wartości przypisanych przez funkcję elementom składowym.

W zależności od liczby elementów wyróżnia się addytywność skończoną lub przeliczalną.

[edytuj] Funkcje liczbowe

Dla funkcji określonych na zbiorach liczbowych funkcję $f: X \to Y$ nazywa się addytywną, gdy spełnia warunek

$\forall_{x, y \in X}\; f(x + y) = f(x) \oplus f(y)$ .

O działaniach $+$ oraz $\oplus$ zakładamy, iż są łączne, zaś w $Y$ istnieje relacja równości.

Definicja poprawna jest już wówczas, gdy zbiory $X, Y$ posiadają strukturę grupy, taką funkcję nazywa się wówczas homomorfizmem grup, choć większego znaczenia powyższa definicja nabiera w bardziej skomplikowanych strukturach takich jak pierścienie, czy ciała.

[edytuj] Skończona addytywność

Z zasady indukcji matematycznej można wnioskować, iż dla każdej addytywnej funkcji $f$ zachodzi

$\forall_{n \in N}\; \forall_{x_1,\ldots,x_n \in X}\; f \left(\sum_{i=1}^n x_i \right) = \sum_{i=1}^n f(x_i)$ .

Powyższą własność nazywa się skończoną addytywnością, zaś funkcję o posiadającą tą własność, iż jest skończenie addytywna.

[edytuj] Podaddytywność

Funkcją podaddytywną (subaddytywną) nazywa się funkcję spełniającą warunek

$\forall_{x, y \in X}\; f(x + y) \le f(x) \oplus f(y)$ ,

dla funkcji $f\colon X \to Y$ określonej jak wyżej. Istotnym warunkiem jest oczywiście obecność porządku liniowego w zbiorze $Y$ .

[edytuj] σ-addytywność

Zobacz więcej w osobnym artykule: Przestrzeń mierzalna.

Funkcja $f$ dana jak wyżej jest przeliczalnie addytywna (σ-addytywna), jeżeli spełnia warunek

$\forall_{x_1,\ldots,x_2 \in X}\; f\left(\sum_{i=1}^\infty x_i \right) = \sum_{i=1}^\infty f(x_i)$ .

Zastąpienie warunku skończonej addytywności powyższym, silniejszym warunkiem przeliczalnej addytywności pozwoliło na rozwój takich dziedzin matematyki jak teoria miary czy teoria całki.

Podobnie definiuje się przeliczalną podaddytywność (σ-addytywność) :

$\forall_{x_1,\ldots,x_2 \in X}\; f\left(\sum_{i=1}^\infty x_i \right) \le \sum_{i=1}^\infty f(x_i)$

[edytuj] Prawdopodobieństwo

W ujęciu Kołmogorow prawdopodobieństwo jest miarą probabilistyczną, którą definiuje się jako przeliczalnie addytywną funkcję zbiorów rozłącznych. Niech $\mathbb P$ będzie taką miarą.

Jeśli $A i$ są rozłącznymi parami zbiorami, zaś $\mathbb P(A_i)$ jest prawdopodobieństwem zdarzenia określonego przez $A i$ , to mamy

$\mathbb P\left(\bigcup_{i \in \mathbb N} A_i\right) = \sum_{i \in \mathbb N} \mathbb \mathbb P(A_i)$ .

Dla zbiorów $B i$ nie koniecznie rozłącznych, prawdziwe jest jedynie stwierdzenie przeliczalnej podaddytywności:

$\mathbb P\left(\bigcup_{i \in \mathbb N} B_i\right) \le \sum_{i \in \mathbb N} \mathbb \mathbb P(B_i)$ .

[edytuj] Teoria całki

Innym przykładem, tym razem zaczerpniętym z teorii całki jest współcześnie rozumiana długość, pole powierzchni i objętość figur geometrycznych, przede wszystkim w ujęciu Lebesgue'a i jego całki. Wówczas przykładowo pole powierzchni figury $F$ można przedstawić jako sumę pól powierzchni figur, na które można rozbić figurę $F$ .

[edytuj] Inne zastosowania

Zobacz więcej w osobnym artykule: Addytywność (fizyka).

Addytywność w matematyce definiowana jest jako własność określona dla obiektów matematycznych. Jednakże pojęcie to używane jest również w naukach przyrodniczych w odniesieniu do obiektów fizycznych, chemicznych, itp. oraz funkcji przypisujących im odpowiednie własności.

[edytuj] Teoria liczb

Teoria liczb posiada własną definicją addytywności. Funkcja $f: \mathbb N \to \mathbb N$ jest funkcją addytywną, gdy dla wszystkich względnie pierwszych liczb $m, n \in \mathbb N$ zachodzi