Wielomian charakterystyczny
Z Wikipedii
W algebrze liniowej każdej macierzy kwadratowej można przypisać jej wielomian charakterystyczny. Zawiera on informacje o niektórych własnościach tej macierzy, w szczególności jej wartościach własnych, wyznaczniku, i śladzie.
Spis treści |
[edytuj] Motywacja
Zbiór wartości własnych macierzy możemy zakodować tworząc wielomian którego pierwiastki są tymi wartościami. Dla macierzy diagonalnej jest to łatwe do wyliczenia: jeśli na głównej przekątnej leżą wartości a, b, c, to wielomian charakterystyczny ma postać
- (t − a)(t − b)(t − c)...
(z dokładnością do znaku). Wynika to z faktu że wartości na przekątnej są tu wartościami własnymi tej macierzy.
Dla dowolnej macierzy A sytuacja wygląda następująco: jeśli λ jest wartością własną A, to istnieje wektor własny v≠0, taki że
- A v = λv,
czyli
- (λI − A)v = 0
(gdzie I jest macierzą jednostkową). Ponieważ v jest niezerowy, oznacza to że macierz λI − A jest macierzą osobliwą (jej wyznacznik jest równy 0). Tym samym pierwiastki wielomianu det(t I − A) są wartościami własnymi A.
[edytuj] Definicja
Dla dowolnego ciała K (w szczególności mogą być to liczby rzeczywiste lub liczby zespolone) możemy rozważać macierze n×n nad tym ciałem. Wielomian charakterystyczny takiej macierzy A, oznaczany przez pA(t), definiuje się jako
- pA(t) = det( t I − A )
[edytuj] Przykład
Przypuśćmy że chcemy obliczyć wielomian charakterystyczny macierzy
Obliczamy wyznacznik macierzy
otrzymując:
Jest to wielomian charakterystyczny A.
W języku symulacyjnym MATLAB do obliczania wielomianu charakterystycznego danej macierzy służy polecenie 'poly' np poly(A). W wyniku otrzymamy wektor poziomy z wartosciami wspołczynników (tutaj [1.0000 -2.0000 1.0000]).
[edytuj] Właściwości
Stopień wielomianu macierzy n×n wynosi zawsze n. Wyraz wolny tego wielomianu (pA(0)) jest równy (-1)n razy wyznacznik A. Współczynnik przy t n-1 jest równy minus tr(A). Dla macierzy 2×2, mamy zatem elegancką reprezentację wielomianu:
- t 2 − tr(A)t + det(A).
Każdy wielomian rzeczywisty nieparzystego stopnia ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty, co oznacza że każda macierz 2k+1×2k+1 ma co najmniej jedną rzeczywistą wartość własną. Podstawowe twierdzenie algebry mówi że każdy wielomian stopnia n ma n pierwiastków zespolonych, a zatem każda macierz kwadratowa ma tyle samo wartości własnych. Nierzeczywiste wartości własne macierzy rzeczywistej, tak jak pierwiastki wielomianów o współczynnikach rzeczywistych, tworzą pary sprzężone.
Twierdzenie Cayley-Hamiltona mówi że podstawiając jako argument wielomianu charakterystycznego A samą macierz A, otrzymamy macierz zerową: pA(A) = 0. A zatem każda macierz spełnia swoje równanie charakterystyczne. W konsekwencji, wielomian minimalny macierzy A musi dzielić jej wielomian charakterystyczny.
Macierze podobne mają te same wielomiany charakterystyczne. Zależność ta nie działa jednak w drugą stronę - macierze o identycznych wielomianach charakterystycznych nie muszą być podobne.
Macierz A jest podobna do macierzy trójkątnej wtedy i tylko wtedy gdy jej wielomian charakterystyczny da się rozłożyć na czynniki liniowe nad K.
