Wartość własna
Z Wikipedii
Wartość własna operatora T przestrzeni unormowanej X nad ciałem K, to taka liczba 
że dla pewnego niezerowego 
spełniony jest związek:
Zwykle rozważana przestrzeń X jest przestrzenią Banacha np. przestrzenią Hilberta. Jeżeli przestrzeń X jest skończeniewymiarową przestrzenią liniową, to przy ustalonej bazie tej przestrzeni operator T reprezentowany jest przez pewną macierz.
Wartość własna macierzy T to każdy taki skalar λ, że dla pewnego niezerowego wektora 
(zwanego wektorem własnym) spełniona jest równość:
- Tx = λx.
Wartości własne są rozwiązaniami równania charakterystycznego macierzy:
- det(T − Iλ) = 0
gdzie I jest macierzą jednostkową, T − Iλ macierzą charakterystyczną, natomiast det(T − Iλ) wyznacznikiem macierzy charakterystycznej.
Zbiór wszystkich wartości własnych operatora tworzy widmo punktowe operatora (w szczególności, gdy operator jest reprezentowany przez macierz, mówimy o widmie macierzy).
[edytuj] Własności
- Suma wszystkich wartości własnych macierzy jest równa śladowi macierzy.
- Iloczyn wszystkich wartości własnych macierzy jest równy wyznacznikowi macierzy.
- Dla każdej macierzy kwadratowej
istnieje co najwyżej n wartości własnych, będących liczbami zespolonymi. - Jeżeli macierz A jest symetryczna, to wszystkie jej wartości własne są liczbami rzeczywistymi.
- Po transpozycji macierzy A, jej wartości własne nie ulegają zmianie.
- Jeżeli A jest samosprzężonym operatorem liniowym to wartości własne tego operatora są rzeczywiste.
- Jeżeli A jest samosprzężonym operatorem liniowym to wszystkie wektory własne, należące do różnych wartości własnych są ortogonalne.
Zobacz też: przegląd zagadnień z zakresu matematyki, równanie własne
