Diagonalizacja

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy
macierz jednostkowa
macierz zerowa
macierz elementarna
macierz schodkowa
macierz trójkątna
macierz symetryczna
macierz diagonalna
macierz idempotentna
macierz nilpotentna
macierz hermitowska
macierz unitarna
macierz ortogonalna
(!) macierz dopełnień algebraicznych
(!) macierz dołączona
więcej...

Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie
mnożenie macierzy
potęgowanie macierzy
odwracanie macierzy
diagonalizacja macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne

Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Diagonalizacja — rozbicie macierzy kwadratowej $A \in M_k(K)$ na iloczyn macierzy $P, \Delta, P^{-1} \in M_k(K)$ :

$A = P Δ P - 1$ ,
$Δ$ jest macierzą diagonalną,
$P, P - 1$ są nazywane macierzami przejścia do/z bazy.

Współczynniki na głównej przekątnej macierz diagonalnej $Δ$ są równe kolejnym wartościom własnym macierzy $A$ , z kolei kolumny macierzy $P$ stanowią kolejne wektory własne macierzy $A$ .

[edytuj] Zastosowanie

Diagonalizacja ułatwia potęgowanie macierzy:

$\begin{matrix} \ & n & \ \\ A^n = (P \Delta P^{-1})^n = & \overbrace{ P \Delta P^{-1} P \Delta P^{-1} \dots P \Delta P^{-1} } & = P \Delta^n P^{-1} = P \operatorname{diag}(\lambda_1^n \dots \lambda_k^n) P^{-1} \end{matrix}$ ,

gdzie:

$P - 1 P = I k$ , gdzie $I k$ jest macierzą jednostkową,
$\lambda_1, \dots, \lambda_k$ są wartościami własnymi macierzy $A$ ,
$\Delta^n = \operatorname{diag}(\lambda_1^n \dots \lambda_k^n)$ jest macierzą diagonalną o współczynnikach będących potęgami kolejnych wartości własnych.

[edytuj] Diagonalizacja Jacobiego

Załóżmy, że $(V,ξ)$ jest przestrzenią ortogonalną oraz $(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$ jest bazą $V\;$ taką, że dla każdego $1\leq k\leq n-1$ zachodzi $g(\alpha_1, \ldots, \alpha_k)\neq 0$ (wyznacznik Grama). Wtedy istnieje baza prostopadła $(\beta_1, \ldots, \beta_n)$ przestrzeni $V\;$ , w której $\xi\;$ ma macierz:

$\left[\begin{array}{c c c c c c} \Delta_1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \frac{\Delta_2}{\Delta_1} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\Delta_3}{\Delta_2} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\Delta_{n-1}}{\Delta_{n-2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\Delta_{n}}{\Delta_{n-1}} \\\end{array}\right]$ , gdzie $\Delta_k=g(\alpha_1, \ldots, \alpha_k)$ dla $k\in\{1,\ldots, n\}$