Potęga

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Potęgowanie przy różnych podstawach. Kolorem zielonym oznaczono potęgowanie przy podstawie 10, kolorem czerwonym przy podstawie logarytmu naturalnego, a niebieskim przy podstawie 1,7.

Potęga, potęgowanie to operacja będąca uogólnieniem wielokrotnego mnożenia. Zapisywana jest jako $a n$ co oznacza n-krotne mnożenie $a$ przez siebie, przy czym a nazywamy podstawą potęgi a n wykładnikiem potęgi. Na przykład $3^{4}=3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3=81$ ; podstawą potęgi w tym przykładzie jest liczba 3 a wykładnikiem liczba 4. Zapis aⁿ czytamy a podniesione do potęgi n lub krótko a do potęgi n.

Początkowo potęga zdefiniowana była tylko dla wykładników będących liczbami naturalnymi, stopniowo jednak rozszerzono definicję tak, by obejmowała także liczby ujemne, wymierne, rzeczywiste i zespolone.

Drugą potęgę nazywa się kwadratem, trzecią sześcianem, czwartą czasami bikwadratem. Określenia te zwykle stosuje się do liczb, ale równie dobrze można mówić o sześcianie macierzy czy kwadracie (kartezjańskim) zbioru.

Spis treści

1 Potęgowanie w analizie matematycznej
2 Potęgowanie w algebrze
3 Potęga 00
4 Potęgowanie zbiorów i liczb kardynalnych
5 Potęgowanie macierzy
- 5.1 Macierze diagonalne
- 5.2 Macierze nilpotentne
6 Konwencje notacyjne
- 6.1 Unikanie indeksu górnego
- 6.2 Potęgowanie funkcji
7 Wielokrotne potęgowanie
8 Zastosowania
9 Programowanie
10 Zobacz też

[edytuj] Potęgowanie w analizie matematycznej

[edytuj] Liczby rzeczywiste

Zobacz w Wikiźródłach tablicę potęg

Elementarna definicja potęgowania liczb rzeczywistych składa się z kilku kroków:

$00$ albo nie jest określone albo przyjmuje się $00 = 1$ . (czytaj niżej)
jeśli y jest równe zeru, a x jest niezerowe, to $x y = 1$ bez jakichkolwiek kontrowersji.
jeśli y jest inną liczbą naturalną, wynikiem jest y-krotne pomnożenie x przez siebie, np. $x^3=x\cdot x\cdot x$ .
jeśli y jest ujemną liczbą całkowitą, $x^y=\frac{1}{x^{-y}}$
jeśli y jest liczbą wymierną i $y = \frac{l}{m}$ , wtedy $x^y=\sqrt[m]{x^l}$ (potęga jest zdefiniowana przez pierwiastek arytmetyczny)
jeśli x jest nieujemne a y jest liczbą niewymierną, wtedy konstruujemy ciąg liczb wymiernych $y_1,~y_2,...$ o granicy w y i wtedy $x^y=\lim_{n\to\infty}x^{y_n}$

Potęgę dla wykładników dodatnich można zdefinować w inny sposób: mając funkcje exp oraz ln można napisać $x y = e y ln x$ . ( $exp x = e x$ jest określone z szeregu potęgowego, a logarytm naturalny jest funkcją odwrotną). Ten związek pozwala potęgować liczby zespolone.

Innym sposobem zdefiniowania potęgi dla dodatniej podstawy jest użycie funkcji wykładniczej: potęga $a x$ to jedyna ciągła funkcja $f:\mathbb R \to \mathbb R$ , że $\forall a, b \in \mathbb R (f(a+b)=f(a)f(b))$ oraz $f (1) = a$ .

[edytuj] Liczby zespolone

Potęga w dziedzinie liczb zespolonych jest niejednoznaczna i miewa nieskończoną liczbę wartości.

Zachodzi:

$x y = (e ln x) y = e y ln x$

W dziedzinie zespolonej $ln x$ jest funkcją wielowartościową a różnica pomiędzy jego wartościami to $k \cdot 2 \pi i$ , dla dowolnego całkowitego k.

Jeśli z będzie dowolnym wybranym logarytmem x, to:

$x y = e y (z + 2 i π k) = e y z e y 2 i π k$

Zbiór wartości ciągu $2i \pi yk \mod 2i \pi$ , czyli $yk \mod 1$ będzie skończony i będzie miał n elementów dla $y = c / n$ (c i n względnie pierwsze). Tylko wtedy potęga w dziedzinie zespolonej ma skończoną liczbę wartości.

Dla $y$ całkowitego wygodnie jest korzystać ze wzoru de Movire'a.

[edytuj] Kwaterniony

Potęgowanie dla kwaternionów można określić wzorem analogicznym dla liczb zespolonych: $y x = exp(x ln y)$ .

[edytuj] Własności

Podstawowe własności potęgowania:

$a^r \cdot{} a^s = a^{r+s}$
$\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s},\quad a\neq 0$
$a^{-n} = \frac{1}{a^n},\quad a\neq 0$
$\left(a^r\right)^s = a^{r\cdot s}$
$\left(a\cdot b\right)^n = a^n\cdot{}b^n$
$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n},\quad b\neq 0$

$a^{({m \over n})} = \sqrt[n]{a^m},\quad n \ne 0$

Równości te są spełnione gdy podstawy i wykładniki są liczbami rzeczywistymi. Należy tylko pamiętać o dziedzinie potęgowania i przypadku szczególnym $00$ . Równości te zachodzą także przy liczbach zespolonych, jednak należy pamiętać o wieloznaczności potęgowania.

Podstawa	Wykładnik	Potęga
całkowita dodatnia	całkowity nieujemny	całkowita dodatnia
całkowita	całkowity nieujemny	całkowita
wymierna dodatnia	całkowita	wymierna
niewymierna dodatnia	rzeczywista	rzeczywista dodatnia¹
algebraiczna	wymierna	algebraiczna
przestępna	wymierny różny od 0	przestępna
rzeczywista dodatnia	rzeczywisty	rzeczywista dodatnia
rzeczywista ujemna	rzeczywisty	zespolona²
zespolona	całkowity	zespolona (jednoznaczna)
zespolona	zespolony	zespolona (wieloznaczna)

¹ Może się okazać, że liczba niewymierna podniesiona do potęgi niewymiernej daje wynik wymierny.

Dowód:
Niech $A=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ .

Jeśli A jest wymierne, to A jest szukaną liczbą.
Jeśli A jest niewymierne, to $B=A^\sqrt{2}=\sqrt{2}^2=2$ jest wymierne i jest szukaną liczbą.

² Potęga ujemnej liczby rzeczywistej wymaga osobnego potraktowania.

Potęgę $a n$ w ogólnym przypadku należy traktować jako $e n ln a$ . Jednak gdy wykładnik jest wymierny i jego mianownik jest nieparzysty można napisać $a^{k/(2n+1)}=\sqrt[2n+1]{a^k}$ , gdzie pierwiastek jest pierwiastkiem arytmetycznym. Obejmuje to także wykładniki całkowite.

W przeciwnym wypadku potęga nie jest liczbą rzeczywistą. Dla wykładników postaci $1 / (2 n)$ można przyjąć:

$a^{\frac{1}{2n}}=\pm i \sqrt[2n]{-a}$

Zauważmy, że ta potęga ma dwie wartości (tworzą one pierwiastek algebraiczny).

Potęgowanie nie jest działaniem przemiennym; dla przykładu $2^{3} \neq 3^{2}$ . Nie jest także działaniem łącznym, np. $2^{(3^2)}=2^9=512$ , ale $(2 3) 2 = 8 2 = 64$ .

[edytuj] Funkcje zawierające potęgę

Zobacz więcej w osobnych artykułach: funkcja wykładnicza, funkcja potęgowa.

Funkcje $a x$ oraz $x a$ , gdzie $a$ jest stałą, są funkcjami elementarnymi. Mają ważne znaczenie w matematyce i innych dziedzinach nauki. Funkcją odwrotną do wykładniczej jest funkcja logarytmiczna, a do potęgowej jest funkcja potęgowa (w przypadku gdy a jest całkowite zwana także funkcją pierwiastkową), o odwrotnym wykładniku. Istnienie dwóch funkcji zawierających potęgę jako argument i dwóch funkcji odwrotnych wynika z nieprzemienności potęgowania.

Rozwiązaniem równania $x x = a$ jest $x=\frac{\ln a}{W(\ln a)}$ gdzie W jest funkcją W Lamberta.

[edytuj] Potęgowanie w algebrze

Jeżeli dane jest działanie $a \cdot b$ , które jest łączne to potęgę $a n$ gdy n jest naturalne definiuje się jako iloczyn $a \cdot a \cdot ... \cdot a$ . Jest to po prostu wielokrotne mnożenie.

Jeżeli działanie $a \cdot b$ jest odwracalne wówczas można zdefinować potęgowanie dla wykładników całkowitych:

$a 0$ jest równe 1
$a - n = b n$ , gdzie $b$ jest odwrotnością $a$ .

Wynika stąd, że $00 = 1$ w dowolnej strukturze algebraicznej. Jednak przy definicji analitycznej przypadek ten traktowany jest inaczej.

Zwykle tę definicję stosuje się dla grup - czytaj więcej.

Tak określone potęgowanie ma następujące własności:

$a^r \cdot{} a^s = a^{r+s}$
$\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s},\quad a\neq 0$
$a^{-n} = \frac{1}{a^n},\quad a\neq 0$
$\left(a^r\right)^s = a^{r\cdot s}$

Jeżeli działanie $\cdot$ jest przemienne to zachodzi także:

$\left(a\cdot b\right)^n = a^n\cdot{}b^n$
$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n},\quad b\neq 0$

Związki te można udowodnić za pomocą indukcji matematycznej.

W ten sposób można określić np. działanie potęgowania dla macierzy lub zbiorów (czytaj niżej).

[edytuj] Potęga 0⁰

Zdefiniowanie potęgi $00$ sprawia problemy. Z jednej strony można by ją przedstawić jako $a 0$ i rozszerzyć wartość na 1. Z drugiej strony natomiast $0 y = 0$ dla wszelkich niezerowych y. Druga wersja jednak nie została przyjęta, gdyż funkcja $f (x) = 0 x$ ma niezwykłe małe znaczenie.

Natomiast za przyjęciem wartości $00 = 1$ istnieje dużo argumentów:

Jeżeli $00$ traktujemy jako iloczyn zawierający 0 czynników to jego wartością jest 1. Wartość iloczynu nie może zależeć od czynników, których nie ma.
Liczba $n m$ jest liczbą odwzorowań zbioru m-elementowego w zbiór n-elementowy. Jeżeli n=0, m>0 wówczas nie ma takich funkcji, gdyż nie można przyporządkować argumentom wartości ze zbioru pustego. Natomiast dla n=m=0 istnieje jedno takie odwzorowanie - funkcja pusta.
Wielomiany w algebrze zapisuje się jako $a n x n + a n - 1 x n - 1 + ... + a 1 x 1 + a 0 x 0$ . Dla $x = 0$ wartość wielomianu jest oczywiście równa $a 0$ . Aby tak było musi być $00 = 1$
Wzory takie jak dwumian Newtona - $(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}x^ky^{n-k}$ w krańcowych przypadkach są możliwe do użycia gdy $00 = 1$ .
W matematyce spotyka się dzielniki zera - obiekty takie, że $a,b\not=0$ , ale $a b = 0$ . Z własności potęgowania otrzymamy wtedy $1 = a 0 b 0 = (a b) 0 = 0 0 .$
Dla każdej liczby nieujemnej $w$ istnieją takie funkcje $f, g$ , że $f (a) = g (a) = 0$ i $\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}=w$ . Zatem argument na to, że $00 = 0 x = 0$ jest nieodpowiedni, gdyż przez dobór funkcji f, g analogicznie można przyjąć $00 = 2$ .
Zachodzi $\lim_{x\to 0} x^x = 1$

Często w analizie matematycznej tradycyjnie przyjmuje się, że $00$ jest symbolem nieoznaczonym. Natomiast w algebrze abstrakcyjnej $00$ jest zawsze równe 1.

Więcej na ten temat w zewnętrznym artykule.

[edytuj] Potęgowanie zbiorów i liczb kardynalnych

Zapis $A n$ , gdzie $A$ jest zbiorem a n liczbą naturalną oznacza n-krotny iloczyn kartezjański zbioru $A$ .

Zapis $A B$ , gdzie $A$ i $B$ są zbiorami oznacza zbiór wszystkich funkcji $f$ o dziedzinie $A$ i przeciwdziedzinie $B$ . Zastępując zbiory ich mocami otrzymujemy definicje potęgowania liczb kardynalnych - zobacz arytmetyka liczb kardynalnych.

[edytuj] Potęgowanie macierzy

Zobacz więcej w osobnym artykule: Potęgowanie macierzy.

Potęgę można łatwo zdefiniować dla macierzy kwadratowych, po prostu przez wielokrotne mnożenie i odwracanie dla wykładników ujemnych.

Dla macierzy kwadratowych można utworzyć funkcję $exp A$ .

$\exp A = \sum_{k=0}^\infty{A^k \over k!}.$

Szereg ten jest zawsze zbieżny. Obliczanie funkcji wykładniczej macierzy ma zastosowanie przy rozwiązywaniu równań różniczkowych liniowych.

[edytuj] Macierze diagonalne

Dla macierzy diagonalnych wystarczy obliczyć osobno wartość $exp x$ dla przekątnej: jeżeli

$A=\begin{bmatrix} a_1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & a_2 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & a_n \end{bmatrix},$

$e^A=\begin{bmatrix} e^{a_1} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & e^{a_2} & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & e^{a_n} \end{bmatrix}.$

(Macierze 1x1 też podlegają tej regule.)

Jeżeli A = UDU⁻¹ i D jest diagonalna, to e^A = Ue^DU⁻¹.

[edytuj] Macierze nilpotentne

Macierz N jest nilpotentna gdy N^q = 0 dla pewnej liczby q. Wówczas e^N można obliczyć bezpośrednio z rozwinięcia na szereg potęgowy, gdyż zawiera on tylko skończenie wiele wyrazów:

$e^N = I + N + \frac{1}{2}N^2 + \frac{1}{6}N^3 + \cdots + \frac{1}{(q-1)!}N^{q-1}.$

(dalsze są równe macierzy zerowej)

[edytuj] Konwencje notacyjne

[edytuj] Unikanie indeksu górnego

Normalnie potęgowanie zapisywane jest w ten sposób, że wykładnik potęgi umieszczony jest w indeksie górnym: x^y. Gdy jednak ze względów technicznych nie można użyć indeksu górnego stosowane są zapisy x^y, x**y lub x↑y. Pamiętać należy w takim wypadku, że potęgowanie jest prawostronnie łączne: x^y^z=x^(y^z).

W przypadku gdy podstawą potęgi jest liczba e (podstawa logarytmu naturalnego) stosowany może być zapis $\exp (x) \equiv e^{x}$ .

[edytuj] Potęgowanie funkcji

Zapis w górnym indeksie przy funkcji może oznaczać potęgowanie wartości funkcji: fⁿ(x)=(f(x))ⁿ. Często jednak, jeżeli przeciwdziedzina funkcji zawiera się w jej dziedzinie zapis $f n (x)$ oznacza n-krotne złożenie funkcji z samą sobą (n-tą inwolucję funkcji). Dla przykładu f³=f(f(f(x))). W szczególności, f ^–1 oznacza funkcję odwrotną do funkcji f.

W przypadku funkcji trygonometrycznych i hiperbolicznych przyjęła się konwencja według której sinⁿx oznacza (sin x)ⁿ dla n większych od zera oraz sin^-1x=arcsin x.

Podobna umowa obowiązuje w przypadku logarytmu: $log 3 (x) = (log x) 3$ .

Pamiętać należy, że zapis $f (n) (x)$ oznacza n-tą pochodną funkcji.

[edytuj] Wielokrotne potęgowanie

Zobacz więcej w osobnym artykule: Notacja strzałkowa.

Czasem rozważa się wielokrotne potęgowanie, oznaczanie dwiema strzałkami:

$a \uparrow\uparrow 2 = a^{a}$
$a \uparrow\uparrow 3 = a^{a^{a}}$
$a \uparrow\uparrow 4 = a^{a^{a^{a}}}$

itd. Ogólnie:

$a\uparrow \uparrow(n+1) = a^{\left(a\uparrow \uparrow n\right)}$

Używając związku $n\uparrow\uparrow k = \log_n \left(n\uparrow\uparrow (k+1)\right)$ (który wynika z definicji działania), można zdefiniować $n\uparrow\uparrow k$ gdy $k \in \{-1, 0, 1\}$ .

$\begin{matrix} n\uparrow\uparrow 1 & = & \log_n \left(n\uparrow\uparrow 2\right) & = & \log_{n} \left(n^n\right) & = & n \log_{n} n & = & n \\ n\uparrow\uparrow 0 & = & \log_{n} \left(n\uparrow\uparrow 1\right) & = & \log_{n} n & & & = & 1 \\ n\uparrow\uparrow -1 & = & \log_{n} \left(n\uparrow\uparrow 0\right) & = & \log_{n} 1 & & & = & 0 \end{matrix}$

Potwierdza to intuicyjne rozumienie $n\uparrow\uparrow 1$ jako $n$ . Jednak dalszych wartości obliczyć nie możemy, gdyż nie jest określony $log n 0$ .

Skoro nieokreślony jest także $log 11$ ( $log 1 1 = ln1 / ln1 = 0 / 0$ ), powyższe wyprowadzenie nie skutkuje dla $n = 1$ . Zatem $1\uparrow\uparrow{-1}$ jest symbolem nieoznaczonym. (Natomiast $1\uparrow\uparrow{0}$ można przyjąć za równe 1)

Powtarzanie procesu wielokrotnego potęgowania z kolei prowadzi do funkcji Ackermanna.

[edytuj] Zastosowania

Potęgi liczby 2 są często spotykane w informatyce. Dla przykładu $2 x$ jest maksymalną możliwą liczbą stanów zmiennej składającej się z $x$ bitów. Często używa się przedrostków używanych normalnie dla liczby 10 (np. kilobajt to 1024 nie 1000 bajtów). Próby wprowadzenia przedrostków dwójkowych nie zostały przyjęte na szerszą skalę.

Potęgi liczby $e$ to wartości funkcji $exp x$ szeroko używanej w analizie matematycznej czy rachunku prawdopodobieństwa.

Potęgi liczby 10 są stosowane w notacji naukowej do zapisywania wielkich liczb i wielkości fizycznych. Są stosowane np. w przedrostkach układu SI.

Potęgowanie modulo jest używane w kryptografii, np. w algorytmie RSA.

[edytuj] Programowanie

Oto pseudokod algorytmu obliczającego potęgę $x n$ , gdzie $n$ jest liczbą całkowitą:

 POTEGA

Ten algorytm używa rekursji ogonowej i może zostać zamieniony na iterację. Jego złożoność obliczeniowa wynosi $O (n)$ .

Istnieje znacznie szybszy algorytm potęgowania używający systemu binarnego. Jego złożoność wynosi $O (log n)$ .

Oznaczenie potęgowania w niektórych językach programowania:

x ↑ y: Algol, Commodore BASIC
x ^ y: BASIC, J, Matlab, Microsoft Excel, TeX (i większość jego rozszerzeń), większość systemów Computer Algebra System
x ** y: Ada, Fortran, FoxPro, Perl, Python, Ruby, SAS
x * y: APL
Power(x, y): Microsoft Excel, Pascal
pow(x, y): C, C++, PHP
Math.pow(x, y): Java, JavaScript, Modula-3
Math.Pow(x, y): C#
(expt x y): Common Lisp, Scheme

[edytuj] Zobacz też

przegląd zagadnień z zakresu matematyki

Źródło: "http://pl.wikipedia.org../../../p/o/t/Pot%C4%99ga.html"

Kategorie: Algebra • Analiza matematyczna

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Potęga

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Potęgowanie w analizie matematycznej

[edytuj] Liczby rzeczywiste

[edytuj] Liczby zespolone

[edytuj] Kwaterniony

[edytuj] Własności

[edytuj] Funkcje zawierające potęgę

[edytuj] Potęgowanie w algebrze

[edytuj] Potęga 0⁰

[edytuj] Potęgowanie zbiorów i liczb kardynalnych

[edytuj] Potęgowanie macierzy

[edytuj] Macierze diagonalne

[edytuj] Macierze nilpotentne

[edytuj] Konwencje notacyjne

[edytuj] Unikanie indeksu górnego

[edytuj] Potęgowanie funkcji

[edytuj] Wielokrotne potęgowanie

[edytuj] Zastosowania

[edytuj] Programowanie

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

techniczne

zmiany

Szukaj

W innych językach

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Potęga

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Potęgowanie w analizie matematycznej

[edytuj] Liczby rzeczywiste

[edytuj] Liczby zespolone

[edytuj] Kwaterniony

[edytuj] Własności

[edytuj] Funkcje zawierające potęgę

[edytuj] Potęgowanie w algebrze

[edytuj] Potęga 00

[edytuj] Potęgowanie zbiorów i liczb kardynalnych

[edytuj] Potęgowanie macierzy

[edytuj] Macierze diagonalne

[edytuj] Macierze nilpotentne

[edytuj] Konwencje notacyjne

[edytuj] Unikanie indeksu górnego

[edytuj] Potęgowanie funkcji

[edytuj] Wielokrotne potęgowanie

[edytuj] Zastosowania

[edytuj] Programowanie

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

techniczne

zmiany

Szukaj

W innych językach

[edytuj] Potęga 0⁰